Sürtünmesiz yatay düzlemde 2v ve v hızlarıyla hareket eden iki cismin çarpışma sonrası ortak kütlesinin sahip olacağı kinetik enerji kaç E’dir?
Cevap:
Bu soruda iki cisim (X ve Y) sürtünmesiz bir yatay yüzeyde ilerlemekte ve çarpıştıktan sonra birbirlerine yapışmaktadır. Her biri çarpışma öncesinde 5E kinetik enerjiye sahiptir. X’in hızı 2v, Y’nin hızı v olarak verilmiştir. Aşağıda adım adım tüm çözümü bulabilirsiniz:
Adım 1: Kinetik Enerjilerin Tanımı
Bir cismin kinetik enerjisi (KE) genel olarak
ifadesiyle tanımlanır. Burada:
- (m) cismin kütlesi (kg cinsinden),
- (v) cismin hızı (m/s cinsinden),
- (K) de cismin kinetik enerjisidir (Joule cinsinden).
Sorumuzda her bir cismin kinetik enerjisinin çarpışma öncesinde 5E olduğu söylenmektedir. Yani:
- ( K_X = 5E)
- ( K_Y = 5E)
Adım 2: Kütle Değerlerini Enerjiler Üzerinden İfade Etme
X Cisminin Kinetik Enerjisi
X cismi hızının 2v olduğu verilmiştir. Dolayısıyla:
[
K_X = \frac{1}{2} m_X (2v)^2 = \frac{1}{2} m_X \cdot 4v^2 = 2 m_X v^2
]
Bu enerji 5E eşit olduğuna göre:
[
2 m_X v^2 = 5E
\quad\longrightarrow\quad
m_X v^2 = 2{,}5E
]
Y Cisminin Kinetik Enerjisi
Y cismi hızının v olduğu verilmiştir. Dolayısıyla:
[
K_Y = \frac{1}{2} m_Y (v)^2 = \frac{1}{2} m_Y v^2
]
Bu da 5E eşit olduğundan:
[
\frac{1}{2} m_Y v^2 = 5E
\quad\longrightarrow\quad
m_Y v^2 = 10E
]
Adım 3: Kütle Oranını Belirleme
Yukarıdaki iki denklemden yola çıkarak (m_X) ve (m_Y) arasındaki oranı bulabiliriz:
- (m_X v^2 = 2{,}5E)
- (m_Y v^2 = 10E)
Bu ifadelerin oranını aldığımızda:
[
\frac{m_Y v^2}{m_X v^2} = \frac{10E}{2{,}5E} = 4
\quad\longrightarrow\quad
\frac{m_Y}{m_X} = 4
]
Yani ( m_Y = 4 m_X ).
Böylece X cismini referans alarak (m_X = m) dersek, Y cismine ait kütle (m_Y = 4m) olacaktır.
Adım 4: Çarpışma Sonrasında Ortak Hızın Bulunması
Çarpışma sonrasında cisimler birbirine yapıştığı için kütleler toplanır ve sistem, toplam kütle ile tek bir cisim gibi hareket eder. Madem süreçte dış kuvvet yok (sürtünme ihmal ediliyor), dürtü ve momentum korunumuna bakmamız gerekir. Toplam momentum:
[
P_{\text{ilk}} = m_X \cdot (2v) + m_Y \cdot (v).
]
Eğer (m_X = m) ve (m_Y = 4m) ise:
[
P_{\text{ilk}} = m \cdot 2v + 4m \cdot v = 2mv + 4mv = 6mv.
]
Toplam kütle çarpışma sonrası:
[
m_X + m_Y = m + 4m = 5m.
]
Sistemin çarpışma sonrası ortak hızı ( v_{\text{ortak}} ), momentum korunumu prensibi gereği şu şekilde bulunur:
[
v_{\text{ortak}}
= \frac{P_{\text{ilk}}}{m_X + m_Y}
= \frac{6mv}{5m}
= \frac{6}{5} v.
]
Adım 5: Çarpışma Sonrası Kinetik Enerji Hesabı
Son durumda tek bir kütle gibi davranan cismin (toplam kütle = (5m)) hızı (\frac{6}{5}v) olduğuna göre, sistemin toplam kinetik enerjisi (K_{\text{son}}) şöyle hesaplanır:
[
K_{\text{son}} = \frac{1}{2} \bigl(m_X + m_Y\bigr) \cdot \bigl(v_{\text{ortak}}\bigr)^2
= \frac{1}{2} (5m) , \left(\frac{6}{5} v\right)^2.
]
Hesaplamaya devam edersek:
[
K_{\text{son}}
= \frac{1}{2} \cdot 5m \cdot \frac{36}{25} v^2
= \frac{5m \cdot 36}{2 \cdot 25} v^2
= \frac{180m}{50} v^2
= \frac{18m}{5} v^2
= 3{,}6 , m v^2.
]
Daha önce (m v^2 = 2{,}5E) bulmuştuk ((m = m_X) için). O halde:
[
K_{\text{son}} = 3{,}6 \times (m v^2)
= 3{,}6 \times 2{,}5E
= 9E.
]
Bu sonuç, çarpışma sonrası ortak kütlenin kinetik enerjisinin 9E olduğunu gösterir.
Adım 6: Sonucun Değerlendirilmesi
Çarpışma öncesinde iki cismin toplam kinetik enerjisi:
- Her biri 5E olduğuna göre toplam ilk enerji: (5E + 5E = 10E).
Çarpışma sonrasında ise sistemin enerjisi 9E çıkar. Bu 1E’lik fark, esnek olmayan (tam inelastik) çarpışmalarda kinetik enerjinin bir kısmının ısı, ses veya şekil değiştirme enerjilerine dönüşmesinden kaynaklanır. Ancak momentum korunduğu için ortak kütlenin hızı, yukarıdaki gibi momentum hesabıyla bulunur.
Özet Tablosu
| Adım | İşlem veya Sonuç |
|---|---|
| 1. Kinetik Enerji Tanımı | (K = \tfrac{1}{2} m v^2) |
| 2. X cisminin KE’si ((5E)) | (2 m_X v^2 = 5E \implies m_X v^2 = 2{,}5E) |
| 3. Y cisminin KE’si ((5E)) | (\tfrac{1}{2} m_Y v^2 = 5E \implies m_Y v^2 = 10E) |
| 4. Kütle Oranı ((m_Y / m_X)) | (\tfrac{10E}{2{,}5E} = 4 \implies m_Y = 4 m_X) |
| 5. Toplam Momentum ((p_i)) | (p_i = m_X \cdot 2v + m_Y \cdot v = 6 m v) |
| 6. Toplam Kütle | (m_X + m_Y = 5m) |
| 7. Ortak Hız ((v_{\text{ortak}})) | (\tfrac{6mv}{5m} = \tfrac{6}{5} v) |
| 8. Final KE ((K_{\text{son}})) | ( \tfrac{1}{2} \cdot 5m \cdot \left(\tfrac{6}{5}v\right)^2 = 9E ) |
Sonuç olarak, çarpışma sonrası tek parça haline gelen sistemin kinetik enerjisi (\boxed{9E}) olur.