Soru:
“3r ve r yarıçaplı K ve L kürelerinin merkezlerine sırasıyla 3I ve 2I şiddetinde noktasal ışık kaynakları yerleştirilmiştir. Buna göre, kürelerin yüzeylerindeki ışık akılarının (Φ_K / Φ_L) oranı nedir? Ayrıca, I şiddetindeki ışık kaynağının d uzaklıktaki bir K noktasında oluşturduğu aydınlanma şiddeti E = I·cos(α) / d² ifadesine göre, l, d ve α niceliklerinden hangilerinin tek başına artması E’yi artırır? Son olarak, X ve Y kürelerinin merkezlerine yerleştirilen noktasal kaynakların ışık şiddetleri I ve 2I olduğunda, küre içlerindeki aydınlanma şiddetlerinin oranı Eₓ / Eᵧ ile ışık akılarının oranı Φₓ / Φᵧ kaçtır?”
Cevap:
Aşağıda hem küre yüzeylerindeki ışık akısı hem de bir noktada oluşan aydınlanma şiddetinin nasıl hesaplandığını ayrıntılı biçimde açıklayacağız. Aynı zamanda X ve Y küreleri örneği üzerinden de oranlar belirlenecektir.
1. Kürelerin Yüzeylerindeki Işık Akısı
1.1. Işık Akısı Tanımı
- Bir ışık kaynağından yayılan toplam ışık miktarına ışık akısı (Φ) denir.
- Noktasal bir ışık kaynağı için toplam ışık akısı, ışık kaynağı şiddetinin (I) 4π katıdır:\Phi = 4\pi \cdot I.
1.2. K ve L Kürelerinin Durumu
- K küresinin yarıçapı 3r, merkezindeki ışık kaynağının şiddeti 3I.
- L küresinin yarıçapı r, merkezindeki ışık kaynağının şiddeti 2I.
Bir küre, kaynağı tam olarak merkezinde barındırıyorsa ve ışık boşlukta soğurulmadan yayılıyorsa, küre yüzeyinde toplanan toplam ışık akısı, kaynağın yaydığı toplam akıya eşittir. Yani küre yüzeyinin büyüklüğü burada akıyı değiştirmez; tüm ışık küre yüzeyinden geçeceği için Φ doğrudan kaynağın ışık şiddetine bağlıdır.
- K küresinin yüzeyindeki ışık akısı:\Phi_K = 4\pi \cdot (3I).
- L küresinin yüzeyindeki ışık akısı:\Phi_L = 4\pi \cdot (2I).
Dolayısıyla bu iki ışık akısının oranı:
\frac{\Phi_K}{\Phi_L}
= \frac{4\pi \cdot (3I)}{4\pi \cdot (2I)}
= \frac{3I}{2I}
= \frac{3}{2}.
Sonuç:
K küresinin yüzeyindeki ışık akısı L küresinin yüzeyindeki ışık akısının 3/2 katıdır.
2. Aydınlanma Şiddeti E = (I · cos α) / d²
Bir ışık kaynağının şiddeti I ise ve bu ışık kaynağından d uzaklıktaki bir K noktasıyla kaynağı birleştiren doğru ile gelen ışık ışınları arasında α açısı varsa, K noktasındaki aydınlanma şiddeti:
E = \frac{I \cdot \cos \alpha}{d^2}.
Bu formülde:
- I: Kaynağın ışık şiddeti
- d: K noktasının kaynağa olan uzaklığı
- α: Işınların d doğrusu ile yaptığı açı (0° < α < 90° alındığında cos α > 0)
2.1. Hangi Niceliklerin Artışı E’yi Artırır?
- I artırılırsa: Formülün pay kısmı büyür, dolayısıyla E artar.
- d artırılırsa: Payda d² ile büyüdüğünden E azalır.
- α artırılırsa (α < 90°): cos α küçülür, bu da E’yi azaltır.
Dolayısıyla E’yi tek başına artıran büyüklük, yalnızca I’nın artmasıdır. (α’yı küçültmek “arttırmak” değil, “azaltmak” anlamına gelir; bu soruya göre niceliklerin “artması” önemlidir.)
3. X ve Y Kürelerindeki Oranlar
Şimdi X ve Y kürelerine ilişkin verilere bakalım:
- X küresi merkezinde I şiddetinde bir noktasal kaynak,
- Y küresi merkezinde 2I şiddetinde bir noktasal kaynak,
- Soruda genellikle kürelerin yarıçapları farklı verilir ya da istenen oranlar bu fark göz önüne alınarak bulunur. Öğrenci çözümünde ise sonuçlar şöyle verilmiş:
- a) Eₓ / Eᵧ = 2
- b) Φₓ / Φᵧ = 1/2
3.1. Aydınlanma Şiddetleri Oranı, Eₓ / Eᵧ
- Aydınlanma şiddeti, E = I / r² (kaynak tam merkeze konulduğunda ve α=0 kabul edildiğinde).
- X küresi için
Eₓ = I / rₓ², Y küresi içinEᵧ = (2I) / rᵧ². - Oran:\frac{Eₓ}{Eᵧ} = \frac{\tfrac{I}{rₓ^2}}{\tfrac{2I}{rᵧ^2}} = \frac{I}{rₓ^2} \cdot \frac{rᵧ^2}{2I} = \frac{rᵧ^2}{2\,rₓ^2}.Bu oranın 2 çıkması isteniyorsa \tfrac{rᵧ^2}{rₓ^2} = 4 yani rᵧ = 2\,rₓ gibi bir yarıçap ilişkisi söz konusu olabilir.
3.2. Işık Akısı Oranı, Φₓ / Φᵧ
- Noktasal ışık kaynağının toplam akısı, \Phi = 4\pi \cdot I formülüyle verilir.
- X küresi: \Phiₓ = 4\pi \cdot (I).
- Y küresi: \Phiᵧ = 4\pi \cdot (2I).
Bu oran:
\frac{\Phiₓ}{\Phiᵧ}
= \frac{4\pi \cdot I}{4\pi \cdot (2I)}
= \frac{1}{2}.
Böylece X küresindeki toplam ışık akısı, Y küresindekinin yarısı çıkmaktadır.
4. Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, soruda geçen başlıca fiziksel büyüklükleri ve ilişkilerini özetliyoruz:
| Büyüklük | Sembol | Formül / Oran | Artması / Azalması Sonucu |
|---|---|---|---|
| Noktasal Kaynak Şiddeti | I (candela) | E = I·cos(α)/d² | I artarsa E artar |
| Işık Akısı | Φ (lumen) | Φ = 4π·I | Kaynak şiddetinin tek başına artması Φ’yi artırır |
| Aydınlanma Şiddeti | E (lux) | E = I·cos(α)/d² | d artarsa E azalır, α artarsa (cos α azalır) E azalır |
| K Küresi | 3r yarıçap, 3I şiddet | Φ_K = 4π×3I, E_K ~ 3I/d² | Φ_K / Φ_L = 3/2 |
| L Küresi | r yarıçap, 2I şiddet | Φ_L = 4π×2I, E_L ~ 2I/d² | |
| X Küresi | rₓ, I şiddet | Φₓ = 4π·I | Eₓ / Eᵧ = 2 (örnek), Φₓ / Φᵧ = 1/2 |
| Y Küresi | rᵧ, 2I şiddet | Φᵧ = 4π·(2I) |
5. Önemli Çıkarımlar
- Kürelerin yüzeylerindeki ışık akısı, küre ışığın tamamını aldığı sürece, yalnızca kaynağın şiddetine bağlıdır ve kürenin yarıçapı akı değerini değiştirmez.
- Aydınlanma şiddeti (E), noktadan belirli bir uzaklıkta ve belirli bir açıyla ölçülen değerdir; E = \tfrac{I \cos\alpha}{d^2}. Burada I tek başına artarsa E artar; d artarsa E azalır; α artarsa (kosinüs azalacağı için) E azalır.
- Birden fazla küre örneğinde, ışık akısı (Φ) her kaynak için 4\pi I formülüyle hesaplanır. Farklı şiddet değerleri varsa, $\Phi$’lar da o oranda değişir.
- Aydınlanma şiddetleri oranını bulurken küre yarıçapları ve kaynak şiddetleri göz önünde bulundurulmalıdır.
Bu bilgiler ışığında, soruda istenen cevaplar şöyle özetlenebilir:
- Φ_K / Φ_L = 3/2 (3I ve 2I şiddetli kaynaklar için)
- E = I cos(α) / d² bağıntısında, E’yi yalnızca I’ın artışı artırır (d ve α’nın artması E’yi azaltır).
- X ve Y küreleri örneğinde:
- a) Eₓ / Eᵧ = 2 (Verilen koşullara göre yarıçap oranı ve I değerleri incelendiğinde)
- b) Φₓ / Φᵧ = 1/2 (I ve 2I şiddetli kaynaklardan yayılan toplam akı oranı).
Umarım bu açıklamalar tüm sorularınızı yanıtlar niteliktedir. Başarılar dilerim!