Soru: Fizik dersi kapsamındaki bu problemde, farklı yarıçaplara ve farklı ışık kaynağı şiddetlerine sahip kürelerin yüzeylerindeki ışık akısı, küre içindeki aydınlanma şiddeti ve bunların oranları sorulmaktadır. Ayrıca noktasal bir ışık kaynağının belirli mesafede ve açı altındaki aydınlanma şiddetinin nasıl değişeceği de incelenmektedir. Sorular şu alt başlıklardan oluşmaktadır:
- 3r ve r yarıçaplı K ve L kürelerinin merkezlerine sırasıyla 3I ve 2I şiddetinde noktasal ışık kaynakları yerleştirilmiştir. Buna göre, kürelerin yüzeylerindeki ışık akılarının oranı ϕₖ / ϕₗ nedir?
- I şiddetindeki ışık kaynağının d uzaklıktaki bir K noktasında oluşturduğu aydınlanma şiddeti formülü,E' = \frac{I \cos \alpha}{d^2}olarak verilmiştir. Burada 0^\circ < \alpha < 90^\circ için L, d ve α niceliklerinden hangilerinin tek başına artması E’ değerini artırır?
- X ve Y kürelerinin merkezlerine yerleştirilen noktasal ışık kaynaklarının şiddetleri sırasıyla I ve 2I’dir. Buna göre:
a) Küre içlerindeki aydınlanma şiddetleri oranı Eₓ / Eᵧ kaçtır?
b) Küre içlerindeki ışık akıları oranı ϕₓ / ϕᵧ kaçtır?
1) K ve L Kürelerinde Işık Akısı Oranı (ϕₖ / ϕₗ)
Temel Kavramlar
- Işık şiddeti (I): Noktasal bir ışık kaynağının birim katı açıya gönderdiği ışık akısı miktarıdır (birimi kandela).
- Işık akısı (Φ): Işık kaynağının tüm uzaya yaydığı toplam ışık enerjisidir (birimi lümen). Bir noktasal kaynak için ideal koşullarda, ışık akısı genellikle 4π çarpı ışık şiddeti ile ilişkilendirilir:\Phi = 4 \pi I
- Küre yüzeyindeki ışık akısı: Bir noktasal ışık kaynağının kürenin tam merkezinde bulunması durumunda, küre yüzeyinden geçen toplam ışık akısı kaynağın toplam akısına eşittir (başka bir engel veya gölge yoksa).
Hesaplama
- K küresinin merkezinde bulunan noktasal ışık kaynağının şiddeti 3I’dir.
- L küresinin merkezinde bulunan noktasal ışık kaynağının şiddeti 2I’dir.
- Noktasal ışık kaynağı kürenin merkezinde ise küre yarıçapının büyüklüğü, yüzeyden geçen akıyı değiştirmez. Çünkü tüm akı her yönde eşit dağılarak kürenin yüzeyinden geçer.
Dolayısıyla K küresinin yüzeyindeki ışık akısı ϕₖ, kaynağın 3I şiddeti nedeniyle orantılı olarak 3’le, L küresinin yüzeyindeki ışık akısı ϕₗ ise 2I şiddeti nedeniyle orantılı olarak 2 ile ilişkilidir:
Sonuç: ϕₖ / ϕₗ = 3/2
2) Noktasal Kaynaktan Aydınlanma Şiddeti (E’) ve Değişkenlerin Etkisi
Bir diğer soru, I şiddetinde bir kaynağın d uzaklığındaki K noktasında oluşturduğu aydınlanma şiddetinin
formülüyle tanımlanmasıdır. Burada:
- I: Işık kaynağının şiddeti,
- d: K noktasına olan uzaklık,
- α: Açma (veya eğim) açısı, cos α ise ışık ışınının yüzeye düşme açısını temsil eder. Düşme açısı küçüldükçe (α → 0°), cos α büyür ve aydınlanma şiddeti artar.
Hangi Nicelikler Artarsa E’ Artar?
- L (kaynak şiddeti) artarsa: I = L değeri büyür, dolayısıyla E’ değeri de doğrudan artar.
- d artarsa: Formülün paydasında d^2 vardır; d büyüdükçe E’ küçülür. Yani d artarsa E’ azalır.
- α artarsa (0° < α < 90°): cos α fonksiyonu azalır çünkü cos eğrisi 0° → 90° arasında 1’den 0’a düşer. Dolayısıyla α arttığında cos α küçülür ve E’ azalır.
Sonuç: E’’yi tek başına artıran tek nicelik kaynak şiddetidir (L). d ya da α artması, tek başına E’’yi artırmaz.
3) X ve Y Kürelerinde Aydınlanma Şiddeti ve Işık Akısı Oranları
Son kısımda, X ve Y kürelerinin merkezlerine noktasal kaynaklar yerleştirilmiştir. Kaynak şiddetleri sırasıyla I ve 2I verilmiştir. Genellikle bu tip sorularda kürelerin yarıçapları da farklı olabilir. Öğrencinin notlarında, sonuçlar:
- Küre içlerindeki aydınlanma şiddetleri oranı (Eₓ / Eᵧ) = 2
- Küre içlerindeki ışık akıları oranı (ϕₓ / ϕᵧ) = 1/2
şeklinde verilmiştir. Bu sonuçları anlamak için şu tip varsayımı ele alalım (soru metninde tam değerler belirtilmese de en yaygın yaklaşımlardan biri):
- X küresinin yarıçapı r, Y küresinin yarıçapı 2r olsun.
- X küresinin merkezindeki noktasal kaynağın şiddeti I, Y küresindeki kaynağın şiddeti ise 2I olsun.
3a) Aydınlanma Şiddeti (E)
Küre yüzeyinde ya da belirli bir noktada aydınlanma şiddeti,
gibi bir oranla değişir (açı faktörü, eksojen faktörler vs. basitleştirilmiş senaryoda ihmal edilmiştir).
- X küresi için:E_X = \frac{I}{r^2}
- Y küresi için:E_Y = \frac{2I}{(2r)^2} \;=\; \frac{2I}{4r^2} \;=\; \frac{I}{2r^2}
Oran:
3b) Işık Akısı (Φ)
Bir noktasal kaynağın toplam ışık akısı,
formülüyle ifade edilir. Kaynağın tamamı kürenin içerisinde ise ve küre yüzeyi tüm ışığı içeriyorsa, küreden geçen toplam akı kaynağın toplam akısına eşittir.
- X küresi için toplam akı:\phi_X = 4\pi \cdot I
- Y küresi için toplam akı:\phi_Y = 4\pi \cdot (2I) = 8\pi I
Oran:
Sonuç: Eₓ / Eᵧ = 2 ve ϕₓ / ϕᵧ = 1/2.
Özet Tablosu
Aşağıdaki tabloda, her bir soruya ilişkin temel sonuçlar özetlenmiştir:
| Soru | Temel Formül veya Mantık | Sonuç |
|---|---|---|
| K ve L kürelerinin yüzeylerindeki ışık akıları oranı (ϕₖ / ϕₗ) | Sadece ışık kaynağının şiddetine bağlı | 3/2 |
| Noktasal kaynaktan aydınlanma şiddeti (E’ = I cos α / d²) ve L, d, α artınca değişim | E’ tek başına yalnız L (I) artarsa büyür | d artarsa ve α artarsa E’ azalır |
| X ve Y kürelerinde (kaynak şiddetleri I ve 2I) aydınlanma şiddetleri oranı (Eₓ / Eᵧ) | E orantısı: I / r² | 2 |
| X ve Y kürelerinde ışık akıları oranı (ϕₓ / ϕᵧ) | 4π I formülü üzerinden toplam akı | 1/2 |
Bu özet, 10. sınıf fizik konularında ışık akısı, aydınlanma şiddeti ve noktasal ışık kaynaklarının küre yüzeyindeki etkileri gibi temel kavramları kapsayan soruların nasıl çözüldüğünü göstermektedir. Işık akısı, doğrudan ışık kaynağının şiddetiyle orantılıdır ve kürenin yarıçapı artmış olsa bile merkezi noktasal kaynağın yayılan toplam akısı değişmez. Aydınlanma şiddeti hesaplanırken ise hem ışık kaynağı şiddeti hem de kaynaktan olan uzaklık (ve bazen de ışın düşme açısı) dikkate alınmaktadır.
Cevap:
- K ve L küreleri için ϕₖ / ϕₗ = 3/2.
- Noktasal kaynaktan aydınlanma şiddeti E’ = (I cos α) / d² ifadesinden, tek başına I’ın (kaynak şiddetinin) artması E’’yi artırır. d veya α artışı ise E’’yi azaltır.
- X ve Y küreleri için
a) Eₓ / Eᵧ = 2,
b) ϕₓ / ϕᵧ = 1/2.