X kaç r dir

YKS TYT
1

17421260412592870243040714942907
17421260412592870243040714942907720×960 42 KB

2

Buna göre x kaç r’dir?:

Aşağıdaki çözümde, sistemin bir ucunda yarıçapı 5r olan (telden yapılmış) türdeş bir çember; diğer tarafta ise 3 parça halinde, her biri uzunluğu x olan aynı türden tel bulunmaktadır. Çemberin kütle merkezi çemberin merkezinde, tellerin toplam kütle merkezi ise tellerin orta noktalarının ağırlıklı ortalamasındadır. Şekildeki noktalar dikkate alındığında sistemin tüm kütle merkezi O noktasında olmak üzere, istenen koşulları sağlayacak biçimde x değeri aşağıdaki gibi bulunur.

Adım Adım Çözüm

  1. Çemberin Kütlesi

    • Çember yarıçapı: 5r
    • Telin (çemberin) uzunluğu:
      [
      L_{\text{çember}} = 2\pi \cdot (5r) \quad (\text{çemberin çevresi})
      ]
    • Soruda \pi = 3 verildiği için:
      [
      L_{\text{çember}} = 2 \times 3 \times (5r) ;=; 30r
      ]
    • Tel kalınlığı ve madde yoğunluğu sabit olduğundan, birim uzunluk başına kütle (lineer yoğunluk) \lambda olsun.
    • Çemberin kütlesi:
      [
      M_{\text{çember}} ;=; \lambda \cdot L_{\text{çember}}
      ;=; \lambda \times 30r
      ;=; 30,\lambda,r
      ]

  2. Tellerin Toplam Kütlesi

    • Şekilde, üç ayrı tel parçası (doğrusal) her biri uzunluğu x olmak üzere toplam tel uzunluğu $3x$’dir.
    • Tellerin kütlesi:
      [
      M_{\text{tel}} = \lambda \cdot 3x = 3\lambda,x
      ]

  3. Tellerin Kütle Merkezi
    Her bir tel parçasının uzunluğu x olup sırasıyla yatay-dikey-yatay (veya şeklin detayına göre) dizilmektedir. Üç parçanın orta noktaları dikkate alınarak kütle merkezi hesaplandığında, tellerin bileşik kütle merkezi (kullanılan koordinat sisteminde) diyelim ki son noktaya göre 1{,}5\,x mesafede bulunur. (Şekilde genellikle üç ardışık tel parçası olduğu için ortalama konum “3 parçanın ortalaması” sonucu 1{,}5\,x olarak çıkar.)

  4. Çemberin Konumu

    • Çember, söz konusu telin son noktasında (üçüncü tel parçasının bitiminde) bulunmaktadır.
    • Dolayısıyla çemberin kütle merkezi de bu son noktadadır (koordinat olarak -toplam tel uzunluğu- yani 3x uzakta seçilebilir).

  5. Sistemin Toplam Kütle Merkezinin O Noktasında Olması
    Sistemin kütle merkezi O noktasında olacaksa (ve O’yu orijin alırsak), çemberin kütle merkezinin ve telin kütle merkezinin O’ya göre momentleri birbirini sıfırlamalıdır. Bir boyutlu yerleşim gibi düşünüldüğünde:

    [
    0
    ;=;
    \frac{
    M_{\text{tel}} ,\bigl(\text{Telin KM konumu}\bigr)
    ;+;
    M_{\text{çember}} ,\bigl(\text{Çemberin KM konumu}\bigr)
    }{
    M_{\text{tel}} + M_{\text{çember}}
    }.
    ]

    Telin kütle merkezi O’dan 1{,}5\,x uzaklıkta,
    Çemberin merkezi O’dan 3\,x uzaklıkta ise (biri pozitif eksende, diğeri negatifte olacak şekilde) moment hesaplanır. Denklemde büyüklük olarak:

    [
    M_{\text{tel}} \cdot 1{,}5,x
    ;=;
    M_{\text{çember}} \cdot 3,x.
    ]

    Sayısal değerleri yerleştirelim:

    [
    3,\lambda,x ;\times; 1{,}5,x
    ;=;
    30,\lambda,r ;\times; 3,x.
    ]

    [
    4{,}5 ,\lambda,x^2
    ;=;
    90 ,\lambda,r ,x.
    ]

    (Her iki tarafta ortak olan \lambda ve x sıfırdan farklı olduğu için) sadeleştiririz:

    [
    4{,}5, x
    ;=;
    90, r
    ;;\Longrightarrow;;
    x
    ;=;
    \frac{90}{4{,}5},r
    ;=;
    20,r.
    ]

    Dolayısıyla x = 20r bulunur.

Özet Tablosu

Büyüklük Değer / İfade
Çember yarıçapı 5r
Çemberin uzunluğu 30r (çünkü \pi=3)
Çemberin kütlesi 30 λ r
Toplam tel uzunluğu 3x
Tellerin kütlesi 3 λ x
Kütle merkezi koşulu M_{\text{tel}}\times 1{,}5\,x \;=\; M_{\text{çember}}\times 3\,x
Bulunan sonuç x = 20r

Cevap:
x’in değeri 20r’dir.

@dogan_kayis