Sorunun Çözümü:
Soruda verilen bilgiler ve çözüm adımları şu şekildedir:
Adım 1: Tekerlek Çevre Uzunluklarının Hesaplanması
-
Traktörün arka tekerlekleri, yarıçapı 5r olduğu için çevre uzunluğu:
$$ Çevre = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 5r = 10 \pi r $$. -
Traktörün ön tekerlekleri, yarıçapı 3r olduğu için çevre uzunluğu:
$$ Çevre = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 3r = 6 \pi r $$. -
Römorkun 4 tekerleği, yarıçapı 2r olduğu için çevre uzunluğu:
$$ Çevre = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 2r = 4 \pi r $$.
Adım 2: Dönme Sayılarının İfadesi
Traktör, belirli bir mesafe x aldığında, her bir tekerlek için dönme sayısını şu şekilde ifade edebiliriz:
-
Arka tekerleklerin dönme sayısı:
$$ \text{Dönme Sayısı} = \frac{\text{Alınan Mesafe}}{\text{Çevre Uzunluğu}} = \frac{x}{10 \pi r} $$ -
Ön tekerleklerin dönme sayısı:
$$ \text{Dönme Sayısı} = \frac{x}{6 \pi r} $$ -
Römorkun tekerleklerinin dönme sayısı:
$$ \text{Dönme Sayısı} = \frac{x}{4 \pi r} $$
Adım 3: Toplam Dönme Sayılarının İfadesi
Sorudaki bilgiye göre, traktörün ön arka tekerleklerinin toplam dönme sayılarından römorkun tekerleklerinin dönme sayısı toplamı 84 azdır.
Bu denklemi kurarız:
$$ 2 \cdot \frac{x}{10 \pi r} + 2 \cdot \frac{x}{6 \pi r} = 4 \cdot \frac{x}{4 \pi r} - 84 $$
Adım 4: Paydaları Birleştirerek Çözüm
Tüm ifadelerin paydasını \pi r üzerinden eşitleyelim:
$$ \frac{2x}{10 \pi r} + \frac{2x}{6 \pi r} = \frac{4x}{4 \pi r} - 84 $$
İfadeleri sadeleştirelim:
-
İlk terim:
$$ \frac{2x}{10 \pi r} = \frac{x}{5 \pi r} $$ -
İkinci terim:
$$ \frac{2x}{6 \pi r} = \frac{x}{3 \pi r} $$ -
Üçüncü terim:
$$ \frac{4x}{4 \pi r} = \frac{x}{\pi r} $$
Denkleme yerine koyarsak:
$$ \frac{x}{5 \pi r} + \frac{x}{3 \pi r} = \frac{x}{\pi r} - 84 $$
Adım 5: Paydalardan Kurtulma
Tüm terimleri \pi r paydasında birleştirelim:
$$ \frac{3x}{15 \pi r} + \frac{5x}{15 \pi r} = \frac{15x}{15 \pi r} - 84 $$
$$ \frac{8x}{15 \pi r} = \frac{15x}{15 \pi r} - 84 $$
Sadeleştirme yaparsak:
$$ \frac{8x}{15} = \frac{15x}{15} - 84 $$
$$ \frac{8x}{15} = x - 84 $$
Adım 6: x Değerini Bulma
Denklemi x yalnız bırakacak şekilde düzenlersek:
$$ x - \frac{8x}{15} = 84 $$
$$ \frac{15x}{15} - \frac{8x}{15} = 84 $$
$$ \frac{7x}{15} = 84 $$
Her iki tarafı 15 ile çarparız:
$$ 7x = 84 \cdot 15 $$
$$ 7x = 1260 $$
Her iki tarafı 7’ye böleriz:
$$ x = \frac{1260}{7} $$
$$ x = 180 $$
Sonuç:
Traktörün aldığı mesafe 180 π metredir.
Doğru Cevap: E) 180
@username
Belli mesafe yol aldığında traktörün arka 2 tekerleği 5r, ön 2 tekerleği 3r ve römorkun 4 tekerleği 2r yarıçaplı olduğuna göre hesaplama nasıl yapılır?
Cevap:
Aşağıdaki adımlarla soruyu sistemli şekilde çözebiliriz:
1. Tekerleklerin Çevre Uzunlukları
-
Arka Tekerlek (5r yarıçaplı)
- Her bir arka tekerleğin çevresi:
[
\text{Çevre} = 2 \pi \cdot 5r = 10\pi r
] - İki arka tekerleğin dönme sayıları toplamı (her biri aynı sayıda tur atar):
[
\text{Arka toplam tur}
= 2 \times \frac{\text{Alınan mesafe }(x)}{10\pi r}
= \frac{2x}{10\pi r}
= \frac{x}{5\pi r}
]
- Her bir arka tekerleğin çevresi:
-
Ön Tekerlek (3r yarıçaplı)
- Her bir ön tekerleğin çevresi:
[
\text{Çevre} = 2 \pi \cdot 3r = 6\pi r
] - İki ön tekerleğin dönme sayıları toplamı:
[
\text{Ön toplam tur}
= 2 \times \frac{x}{6\pi r}
= \frac{2x}{6\pi r}
= \frac{x}{3\pi r}
]
- Her bir ön tekerleğin çevresi:
-
Römork Tekerleği (2r yarıçaplı)
- Her bir römork tekerleğinin çevresi:
[
\text{Çevre} = 2 \pi \cdot 2r = 4\pi r
] - Dört römork tekerleğinin dönme sayıları toplamı:
[
\text{Römork toplam tur}
= 4 \times \frac{x}{4\pi r}
= \frac{4x}{4\pi r}
= \frac{x}{\pi r}
]
- Her bir römork tekerleğinin çevresi:
2. Denklem Kurma
Soruya göre:
“Traktörün arka 2 tekerleği ile ön 2 tekerleğinin tur sayıları toplamı,
römorkun 4 tekerleğinin tur sayıları toplamından 84 azdır.”
Matematiksel olarak:
[
\Bigl(\frac{x}{5\pi r} + \frac{x}{3\pi r}\Bigr)
= \frac{x}{\pi r} - 84
]
3. Denklemi Çözme
-
Sol tarafı ortak paydaya getirelim:
[
\frac{x}{5\pi r} + \frac{x}{3\pi r}
= \frac{3x}{15\pi r} + \frac{5x}{15\pi r}
= \frac{8x}{15\pi r}
] -
Sağ tarafta ise:
[
\frac{x}{\pi r} - 84
] -
Denklem:
[
\frac{8x}{15\pi r} = \frac{x}{\pi r} - 84
] -
Her iki tarafı 15πr ile çarparak sadeleştirelim:
[
8x
= \bigl(\tfrac{x}{\pi r} - 84\bigr) \times 15\pi r
= 15x - 15 \cdot 84 ,\pi r
]
[
15 \times 84 = 1260
]
Dolayısıyla:
[
8x = 15x - 1260,\pi r
] -
Buradan:
[
8x - 15x = -1260,\pi r
\quad\Longrightarrow\quad
-7x = -1260,\pi r
\quad\Longrightarrow\quad
7x = 1260,\pi r
\quad\Longrightarrow\quad
x = 180,\pi r
]
4. r Değerini Yerine Koyma
Soru, r = 1/2 metre olarak vermektedir. Bu değeri yerine koyalım:
[
x = 180,\pi \times \tfrac{1}{2}
= 90,\pi \text{ metre}
]
Yani traktörün aldığı toplam mesafe 90π metre’dir.
Özet Tablo
| Tekerlek Türü | Yarıçap (r) | Çevre | 1 Tekerin Tur Sayısı | Toplam Tur Sayısı (Açıklama) |
|---|---|---|---|---|
| Arka 2 Tekerlek (Her biri) | 5r | 10πr | x / (10πr) | 2×[x/(10πr)] = x/(5πr) |
| Ön 2 Tekerlek (Her biri) | 3r | 6πr | x / (6πr) | 2×[x/(6πr)] = x/(3πr) |
| Römork 4 Tekerlek (Her biri) | 2r | 4πr | x / (4πr) | 4×[x/(4πr)] = x/(πr) |
| Denkleme Göre: | – | – | – | (Arka + Ön) = (Römork) – 84 ⇒ x = 180πr |
Sonuç ve Kısa Özet
• Denklem kurulup çözüldüğünde, x = 180 π r bulunur.
• r = 1/2 metre konulduğunda, mesafe 90π metre çıkar.
• Verilen çoktan seçmeli şıklarda doğru cevap 90π (A) olarak görülür.