Soru (10):
Eşit bölmeli, toplam ağırlığı 2P olan türdeş bir çubuk; sol ucuna 4P, sağ ucuna 2P ağırlıklar asıldığında, sistemin dengede kalabilmesi için çubuk hangi noktadan asılmalıdır?
Cevap:
Aşağıdaki çözümde çubuğun toplam uzunluğunu 4 eşit parçaya (her birine “a” diyelim) bölelim. Soldan sağa doğru bölme noktaları K, L, M, N olarak gösterilmiştir ve çubuğun uçlarıyla beraber toplamda 4 segment (K–L, L–M, M–N, N–sağ uç) bulunur:
• Sol uç (K) = 0
• L = a
• M = 2a
• N = 3a
• Sağ uç = 4a
Çubuğun ağırlığı 2P olup, kütle merkezine (orta noktaya, yani 2a konumuna) etki eder. Sol uçta asılı olan kütle 4P (x=0 konumu), sağ uçta asılı olan kütle ise 2P (x=4a konumu) olsun. Çubuğun asılacağı noktayı (pivot) soldan itibaren x mesafesi olarak tanımlayıp moment (tork) dengesini yazalım.
1. Tork Dengesinin Yazılması
Denge şartına göre toplam tork (saat yönü ve saat yönünün tersi olacak şekilde) sıfır olmalıdır. Pivot noktasını x olarak aldığımızda:
• 4P ağırlığının pivot noktasına uzaklığı: x
• 2P (çubuğun kendi ağırlığı) ağırlığının pivot noktasına uzaklığı: |2a - x|
• 2P (sağdaki kütle) ağırlığının pivot noktasına uzaklığı: |4a - x|
Eğer pivot 0 < x < 4a arasında ise:
- Soldaki 4P, pivotun solunda kalacağından saat yönünde (negatif) tork üretir → Tork = −4P·x
- Çubuğun ağırlığı 2P, eğer 2a > x ise saat yönünün tersi (pozitif) tork üretir → Tork = +2P·(2a − x)
- Sağdaki 2P, pivotun sağında kalacağından saat yönünün tersi (pozitif) tork üretir → Tork = +2P·(4a − x)
Toplam tork = 0 denklemi:
2. Denklemin Çözümü
Adım adım açarak çözelim:
- -4P\,x
- +2P\,(2a - x) = +4Pa - 2P\,x
- +2P\,(4a - x) = +8Pa - 2P\,x
Hepsini toplayıp sıfıra eşitliyoruz:
Buradan:
Yani pivot noktası soldan 1,5a uzaklıkta olmalıdır. Segmentlerimiz a birim uzunluğunda olduğu için bu konum L (a) ile M (2a) noktalarının tam ortasıdır.
3. Sonuç
Bu durumda çubuk aşağıdaki noktadan asılırsa sistem dengede kalır:
• L ve M noktalarının ortasından (yani soldan 1,5a mesafede)
Birimlere göre ifade edecek olursak çubuk, soldaki ilk bölme (L) ile ikinci bölme (M) arasında, tam ortadan asılmalıdır.
Özet Tablosu
| Kuvvet | Büyüklük | Konum (x) | Tork İşareti | Tork İfadeleri |
|---|---|---|---|---|
| Sol kütle | 4P | 0 | Saat yönünde (–) | – 4P·x |
| Çubuğun ağırlığı | 2P | 2a | Saat yönü tersi (+) veya saat yönünde (–) konuma göre | +2P·(2a – x) (x<2a ise +) |
| Sağ kütle | 2P | 4a | Saat yönü tersi (+) | +2P·(4a – x) |
| Denge Noktası | – | x=1,5a | – | L ile M arası (tam orta) |
Görüldüğü gibi denge denklemi sonucunda x = 1,5a bulunmuştur. Bu nokta, ikinci (L) ve üçüncü (M) bölmelerin arasında kalan orta noktadır.
Soru: Eşit bölmeli 2P ağırlıklı türdeş çubuğun 4P ve 2P ağırlıklı cisimlerle dengede kalabilmesi için nereden asılması gerekir?
Cevap:
Çubuğu dengeye getiren askı noktası, soldaki (K) uçtan 9/8 birim (yani 1,125 birim) uzakta olmalıdır. Başka bir deyişle, L ile M noktaları arasındaki konumda, L noktasından 1/8 birim M’e doğru asmak gerekir.
Adım Adım Çözüm
-
Çubuğun Tanımı ve Kuvvet Noktaları:
- Çubuk K, L, M, N noktalarıyla 3 eşit parçaya bölünmüş olsun (K-L, L-M, M-N). Toplam uzunluk böylece 3 “birim” alınabilir.
- Çubuğun toplam ağırlığı 2P ve kütle merkezi tam ortada, yani K’ye 1,5 birim uzaklıkta.
- Sol uç (K) noktasında 4P ağırlık, sağ uç (N) noktasında ise 2P ağırlık asılıdır.
-
Sistem Denge Koşulu (Net Tork = 0):
Denge için momentlerin (torkların) toplamı sıfır olmalıdır. Askı noktasını K’den itibaren x uzaklıkta kabul edelim (0 < x < 3). -
Kuvvetlerin Tork Hesapları (Saat yönü negatif, tersi pozitif kabulüyle):
- Sol uçtaki 4P kuvveti: Konumu K (0 birim). Pivot x birim solda ise saat yönünde (negatif) tork oluşturur:T_{4P} = -4P \cdot x
- Çubuğun kendi ağırlığı 2P: Konumu 1,5 birim. Pivot x < 1{,}5 ise ağırlık pivotun sağında kalır ve ters yönde (pozitif) tork oluşturur:T_\text{çubuk} = +2P \cdot (1{,}5 - x)
- Sağ uçtaki 2P kuvveti: Konumu 3 birim. Pivot x < 3 olduğu için yine ters yönde (pozitif) tork oluşturur:T_{2P} = +2P \cdot (3 - x)
- Sol uçtaki 4P kuvveti: Konumu K (0 birim). Pivot x birim solda ise saat yönünde (negatif) tork oluşturur:
-
Toplam Tork Denklemi ve Çözüm:
\underbrace{(-4P \cdot x)}_{\text{4P}} \;+\; \underbrace{2P \cdot (1{,}5 - x)}_{\text{çubuk}} \;+\; \underbrace{2P \cdot (3 - x)}_{\text{2P}} \;=\; 0P ortak çarpanını atarak çözelim:
-4x + 2(1{,}5 - x) + 2(3 - x) = 0-4x + 3 - 2x + 6 - 2x = 0-8x + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{9}{8} = 1{,}125Yani askı noktası, K’den 1,125 birim uzakta (L’den 0,125 birim sonra).
Özet Tablosu
| Büyüklük / Nokta | Değer |
|---|---|
| Çubuğun Toplam Ağırlığı | 2P |
| Sol Uçtaki Ağırlık | 4P |
| Sağ Uçtaki Ağırlık | 2P |
| Çubuk Uzunluğu (K’den N’ye) | 3 eşit parça (toplam 3 birim) |
| Çubuğun Kütle Merkezi | K’den 1,5 birim |
| Denge Noktası (Pivot) | K’den 9/8 (1,125) birim |
| Diğer İfade | L noktasından 1/8 birim M yönünde |
Sonuç olarak, çubuğun dengede kalabilmesi için askı noktası L ile M arasında, L noktasından K’ye doğru 1 birim, M’e doğru 1 birim gidildiğinde aradaki 1 birimlik segmentin 1/8’i kadar M’e yakın bir yerden asılmalıdır.