(f ∘ g)'(0) değerini bulma
Soruda verilen iki fonksiyon şunlardır:
- f(x) = x² - x
- g(x) = x² + x + 1
İstenen ifade: (f ∘ g)'(0), yani bileşke fonksiyonun türevinin 0’daki değeri.
Adım 1: Bileşke Fonksiyonu Tanımlama
Bileşke fonksiyon (f ∘ g)(x) şu şekilde tanımlanır:
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
Yani f(x) fonksiyonunda, x yerine g(x) yazıyoruz:
f(g(x)) = (g(x))^2 - g(x)
Adım 2: g(x)'i yerine yazma
g(x) fonksiyonu x² + x + 1 olarak verilmiş. Bunun karesini alıp, ardından g(x)'i çıkaracağız:
f(g(x)) = (x² + x + 1)^2 - (x² + x + 1)
Şimdi bu ifadeyi açalım.
(x² + x + 1)²’nin açılımı:
$$(x² + x + 1)^2 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$$
Buradan, bileşke fonksiyon:
f(g(x)) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 - (x² + x + 1)
Son adımı yapalım:
f(g(x)) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x
Adım 3: Bileşke Fonksiyonun Türevini Alma
Şimdi f(g(x))'in türevini alıyoruz:
(f ∘ g)'(x) = \frac{d}{dx} \big(x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x\big)
Türev kurallarını uygulayalım:
- x^4'ün türevi: 4x^3
- 2x^3'ün türevi: 6x^2
- 2x^2'ün türevi: 4x
- x'in türevi: 1
Sonuç:
(f ∘ g)'(x) = 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
Adım 4: Türevde x = 0 yerine koyma
Şimdi x = 0 değerini bu türevde yerine koyuyoruz:
(f ∘ g)'(0) = 4(0)^3 + 6(0)^2 + 4(0) + 1
Sonuç:
(f ∘ g)'(0) = 1
Sonuç:
(f ∘ g)'(0) = 1
Tabloyla özetleyelim:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Bileşke fonksiyonu | f(g(x)) = (x² + x + 1)^2 - (x² + x + 1) | x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x |
| 2. Türev alma | \frac{d}{dx}(x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x) | 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 |
| 3. x = 0 yerine koyma | (f ∘ g)'(0) | 1 |
@(Arda_Kucuksert)