x ve y birer tam sayı olmak üzere, (x-1)^2 - (y+2)^2 ifadesi tek bir sayıdır. Buna göre I, II ve III ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
Cevap:
Verilen ifadeyi analiz edelim:
$$(x-1)^2 - (y+2)^2$$
Bu ifadeyi açarak farklar çarpanlarına ayırma kuralını (fark ve toplam) uygulayabiliriz:
$$(x-1)^2 - (y+2)^2 = [(x-1) - (y+2)][(x-1) + (y+2)]$$
Basitleştirirsek:
$$ (x-1-y-2)(x-1+y+2) = (x-y-3)(x+y+1) $$
Şimdi, bu sonucun tek sayı olduğunu biliyoruz. Bir tek sayının tek olabilmesi için iki çarpanın biri tek diğeri ise çift olması gerekir. Bu durumu inceleyelim:
-
I. x çift sayıdır.
- Eğer x çift ise (x-1) bir eksik olduğu için tek olacak ve tek bir sayının karesi yine tek olur. Bu durumda (x-1)^2 ifadesi tek olur.
-
II. x + y çift sayıdır.
- Eğer x ve y çift ise toplama sonucu yine çift olur. Dolayısıyla x-y-3 ifadesi çift veya tek olabilir, bu ifadenin tek olması için (x) ve (y) sayılarının farkının cevabın tek çıkmasını sağlamalıdır.
-
III. x - y çift sayıdır.
- Eğer x ve y çift ise çıkarma sonucu yine çift olur. Bu durumda (y+2)^2 ifadesinde y çift olduğunda sonuç yine tek olur ve bu durumda sonuç her zaman tek olur.
Sonuç olarak, her zaman doğru olan ifadeler şunlardır:
- I. x çift sayıdır.
- III. x - y çift sayıdır.
Dolayısıyla doğru cevap E seçeneğidir: I, II ve III. Ancak soruda ayrıntı verilmediği durumlarda genel doğruluğu korumak adına her zaman çift ifadesinde bile çözüm sağlayıcıdır.