x, y ve z birer tam sayı olmak üzere, x − 3y, x² + x, y + 4z ifadelerinden birinin tek, ikisinin çift olduğu biliniyor. Buna göre aşağıdaki öncüllerden hangileri kesinlikle doğrudur?
Cevap:
Öncelikle ifadelerin parite (tek-çift) durumlarına bakalım:
-
x² + x:
Bir tam sayı x için x \cdot (x+1) biçimindedir. Birbiri ardına gelen iki tam sayıdan (x ve x+1) biri daima çifttir. Dolayısıyla x^2 + x kesinlikle çift sayı çıkar. -
x − 3y:
x - 3y \pmod 2 incelemesi yapmak için 3’ü mod 2’ye göre düşünürsek 3 ≡ 1 (mod 2) olduğundan,
x - 3y \equiv x - y \equiv x + y \pmod 2.
Yani $x - 3y$’nin tek mi çift mi olduğunu x + y’nin tek veya çift olması belirler. -
y + 4z:
4z her zaman çifttir (çünkü 4 ve 2 çarpanı içerir). Dolayısıyla y + 4z \equiv y \pmod 2. Yani y tekse y + 4z tek, y çiftse y + 4z çift olur.
Şartta “Bu üç ifadeden bir tanesi tek, iki tanesi çift” olduğu bilgisine sahibiz. Ancak x^2 + x mutlaka çift olduğundan geriye “$x - 3y$” ile “$y + 4z$” arasında tek-çift dağılımı yapılacaktır. Şu iki ana senaryo mümkündür:
-
Senaryo 1: x tek, y çift
- x^2 + x → çift (her zaman)
- x - 3y \equiv x + y → (tek + çift) = tek
- y + 4z \equiv y → (çift) = çift
- Bu durumda (çift, tek, çift) sıralaması sağlanır.
-
Senaryo 2: x tek, y tek
- x^2 + x → çift (her zaman)
- x - 3y \equiv x + y → (tek + tek) = çift
- y + 4z \equiv y → (tek) = tek
- Bu durumda (çift, çift, tek) sıralaması sağlanır.
Her iki durumda da x tek olması ortak bir zorunluluktur (aksi hâlde koşul sağlanamaz). Ancak $y$’nin tek veya çift olması tamamen duruma göre değişebildiği için, z hakkında da kati bir sonuç çıkarılamaz.
Dolayısıyla:
- I. “x tektir.” → Kesinlikle doğrudur.
- II. “y çift ise z tektir.” → Bu senaryolarla doğrudan doğrulanamaz. $z$’nin paritesi y’ye bağlı olmak zorunda değildir.
- III. “z tek ise x + y + z çifttir.” → y tek olduğunda bu geçersiz kalabilir. Yani mutlaka doğru değildir.
Buna göre yalnız I. ifade kesinlikle doğrudur.
Özet Tablo
| İfade | Parite İncelemesi | Sonuç |
|---|---|---|
| x² + x | Daima çift | Kesinlikle çift |
| x - 3y | x + y (mod 2) | Tek/çift olması x ve y’ye bağlı |
| y + 4z | y (mod 2) | Tek/çift olması y’ye bağlı |
| “Birisi tek, ikisi çift” | x² + x kesin çift ⇒ x - 3y ve y + 4z’den biri tek olacak | x tek olmak zorunda, y ve z esnek |
Doğru Yanıt: “Yalnız I”