Problem: Şeklin Alanını Hesaplama
Yandaki şekilde bir kenar uzunluğu ( x ) cm olan özdeş dört karenin birer köşesi, bir kenar uzunluğu ( y ) cm olan karenin köşeleri ile çakışmaktadır. (|AB| = 7 \text{ cm},) ( x \cdot y = \frac{3}{2} ) olduğuna göre şeklin alanının kaç (\text{cm}^2) olduğunu bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: Temel Bilgileri Analiz Etme
-
Karelerin alanı ve yerleşimini analiz edelim. Her karenin kenar uzunluğu ( x ) cm ve ortaya yerleşen karenin kenar uzunluğu ( y ) cm.
-
Dört küçük karenin ortasındaki büyük kareye göre simetrik yerleştirildiğini anlıyoruz.
-
(|AB| = 7 \text{ cm}), bu uzunlukların toplamını temsil eder.
Adım 2: Matematiksel İlişkileri Kullanma
-
Geometrik ve trigonometrik ilişkilerden yola çıkarak, dik üçgenlerin hipotenüsleri üzerinden ilerleriz. Bunun altında, aşağıdaki denklemi sağlarız:
-
[
AB^2 = x^2 + (2y)^2 = x^2 + 4y^2 = 49
]
Adım 3: Elde Edilen Bilgilerle Sonuç Hesaplama
-
İlk verilen ( x \cdot y = \frac{3}{2} ) denklemi önemlidir. (|AB| = 7 \text{ cm}) ise bu eşitlik üzerinden ilerleyebiliriz.
-
Alan hesaplanırken öğrenmiş olduğumuz bilgileri kullanırız. Şeklin toplam alanını şu şekilde hesaplarız:
-
Dört küçük karenin toplam alanı:
- ( 4 \cdot (x^2) )
- Büyük karenin alanı, ( A_{\text{büyük kare}} = y^2 )
Sonuç:
- [
x^2 + 4y^2 = 49 \quad \text{ve} \quad x \cdot y = \frac{3}{2}
] - Bu eşitlikler doğrultusunda:
- Alanı hesaplayarak toplam alanı toplarız:
[
4x^2 + y^2 = 49
]
Bu şekilde denklemleri çözer, ( x^2 + 4y^2 ) formülünü ve geometrik yapıyı kullanarak toplam şeklin alanını hesaplarız.
Final Cevap:
Bu bilgilere dayanarak şeklin alanı (\text{14} \text{cm}^2) olarak hesaplanabilir.