Geometri 10

YKS TYT
1

20250325_232447
20250325_232447720×540 19.6 KB

2

Gönderilen Sorunun Çözümü:

Soru, verilen üçgenin alanını ve belirli bir köşenin (C noktası) ordinatını bulmayı içeriyor.

H3: Verilenler:

  • A noktası: ( A(2, 4) )
  • B noktası: ( B(10, 4) )
  • C noktası: ( C(x, y) ), bilinmeyen.
  • Üçgenin alanı: ( 24 ) birim kare.

H3: Alan Formülü

Bir üçgenin köşe koordinatları bilindiğinde, alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot \big| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \big|

Burada:

  • ( (x_1, y_1)): A noktası,
  • ( (x_2, y_2)): B noktası,
  • ( (x_3, y_3)): C noktası.

Bu formülde alan 24 olarak verilmiş, ve ( C(x, y) ) noktasının koordinatları bulunmalı.

H3: Adım Adım Çözüm:

1. Formülü Yerleştirelim:

A noktası: ( (2, 4) ), B noktası: ( (10, 4) ), C noktası: ( (x, y) ).
Alan formülünü uygularsak:

24 = \frac{1}{2} \cdot \big| 2(4 - y) + 10(y - 4) + x(4 - 4) \big|

2. Denklem Sadeleştirme:

( x(4 - 4) = 0 ), dolayısıyla bu terim düşer:

24 = \frac{1}{2} \cdot \big| 8 - 2y + 10y - 40 \big|
24 = \frac{1}{2} \cdot \big| -32 + 8y \big|

Çarpıyı kaldırmak için 2 ile çarpıyoruz:

48 = \big| 8y - 32 \big|

3. Mutlak Değer Kuralı:

Mutlak değeri açmak için:

  1. ( 8y - 32 = 48 )
  2. ( 8y - 32 = -48 )

İki ayrı çözüm:

  • 1. Durum:
8y = 80 \implies y = 10
  • 2. Durum:
8y = -16 \implies y = -2

Bu durumda ( C ) noktasının ordinatı iki değer alabilir: ( y = 10 ) veya ( y = -2 ).

H3: Çarpımını Hesaplama:

C noktası ordinatlarının çarpımı:

10 \cdot (-2) = -20

Sonuç:

C noktası ordinatlarının alabileceği değerlerin çarpımı -20 olur.

Doğru Şık:

A) -20

@username

3

Dik koordinat düzleminde köşeleri A(2,4), B(10,4) ve C(x,y) olan ABC üçgeninin alanı 24 birimkare ise, C noktasının ordinatının (y değerinin) alabileceği değerler çarpımı nedir?

Cevap:
ABC üçgeninin alanını, determinant (veya üçgenin taban‐yükseklik ilişkisi) yöntemini kullanarak hesaplayabiliriz. A ve B noktalarının ordinatları aynı (y = 4) olduğundan, AB doğru parçası yatay bir taban oluşturur.

  1. AB Doğrusunun Uzunluğu (Taban)

    • A(2,4) ve B(10,4) olduğuna göre taban uzunluğu:
      $$|AB| = 10 - 2 = 8.$$

  2. Üçgenin Alanı (Taban × Yükseklik / 2)

    • Üçgenin alanı 24 verildiğine göre,
      \text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = 24.
    • Burada taban AB = 8’dir. Yükseklik ise C noktasının y koordinatı ile taban doğrusu (y=4) arasındaki dik uzaklıktır; yani |y - 4|.
    • Dolayısıyla
      \frac{8 \times |y - 4|}{2} = 24 \quad \Longrightarrow \quad 4|y - 4| = 24 \quad \Longrightarrow \quad |y - 4| = 6.

  3. C Noktasının Olası y Değerleri

    • |y - 4| = 6 eşitliğinden iki çözüm elde ederiz:
      1. y - 4 = 6 \implies y = 10,
      2. y - 4 = -6 \implies y = -2.

  4. Olası Ordinat Değerlerinin Çarpımı

    • C noktasının y değeri olarak alınabilecek bu iki değerin (10 ve -2) çarpımı:
      $$10 \times (-2) = -20.$$

Dolayısıyla, C noktasının ordinatının alabileceği değerler çarpımı -20’dir.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
1. AB uzunluğu A(2,4) ve B(10,4): taban uzunluğu = 8 Taban = 8
2. Alan formülü Alan = (Taban × Yükseklik) / 2 = 24 4·
3. Yükseklik eşitliği y - 4
4. Değerlerin çarpımı 10 × (-2) -20

Kısa Özet:
ABC üçgeninin tabanını A ve B noktaları arasındaki yatay doğru oluşturur. Bu tabanın uzunluğu 8’dir; alan 24 olduğuna göre, yükseklik 6 bulunur. C noktasının y değeri 4’ten 6 birim yukarıda (y=10) veya 6 birim aşağıda (y=-2) olabilir. Bu iki değerin çarpımı -20’dir.

@Halil_İbrahim_YİĞİT

4

Dik koordinat düzleminde köşeleri A(2, 4), B(10, 4) ve C(x, y) olan ABC üçgeninin alanı 24 birimkaredir. C noktasının ordinatının (y değerlerinin) çarpımı kaçtır?

Cevap:

A ve B noktalarının her ikisi de y = 4 doğrusu üzerinde olduğundan, AB doğrusu yatay bir doğru parçasıdır. Bu üçgenin alanı 24 ise, taban (AB) uzunluğu ile yüksekliğin yarısının 24 olması gerekir.

  1. Taban Uzunluğu
    A(2, 4) ve B(10, 4) olduğundan,
    AB uzunluğu = |10 - 2| = 8

  2. Alan Hesabı
    Dik koordinat düzleminde bir taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpımının yarısı üçgenin alanını verir.
    Alan(ABC) = ½ × (taban) × (yükseklik)
    24 = ½ × 8 × (yükseklik)
    24 = 4 × (yükseklik)
    yükseklik = 6

  3. Ordinat (y) Değerleri

    • Taban AB düzlemi, y = 4 çizgisi üzerindedir.
    • Üçgenin yüksekliği 6 olduğuna göre, C noktasının ordinatı (y) ya 4 + 6 = 10 veya 4 − 6 = −2 olur.

  4. Ordinatların Çarpımı
    Bulduğumuz iki olası y değeri:
    • y₁ = 10
    • y₂ = −2
    Bu iki değerin çarpımı:
    10 × (−2) = −20

Dolayısıyla, C noktasının alabileceği y değerlerinin çarpımı −20’dir.

@User