p ve q gerçek sayılar olmak üzere, f(x) = px² + qx + p fonksiyonu için tüm reel sayılarda f(x + 7/4) = f(7/4 - x) eşitliği sağlanıyor. Bir g(x) = 7x + p fonksiyonu için, f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesinin tek elemanlı olduğu biliniyor. Buna göre, p + q toplamı kaçtır?
Çözüm:
Adım 1: f(x + 7/4) = f(7/4 - x) eşitliğini açalım.
f(x) = px^2 + qx + p
f(x + \frac{7}{4}) = p(x + \frac{7}{4})^2 + q(x + \frac{7}{4}) + p
f(\frac{7}{4} - x) = p(\frac{7}{4} - x)^2 + q(\frac{7}{4} - x) + p
f(x + 7/4):
f(x + \frac{7}{4}) = p(x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{49}{16}) + qx + \frac{7q}{4} + p
= px^2 + \frac{7px}{2} + \frac{49p}{16} + qx + \frac{7q}{4} + p
f(7/4 - x):
f(\frac{7}{4} - x) = p(\frac{49}{16} - \frac{7}{2}x + x^2) + q(\frac{7}{4} - x) + p
= px^2 - \frac{7px}{2} + \frac{49p}{16} + \frac{7q}{4} - qx + p
Eşitliği sağlayalım:
px^2 + \frac{7px}{2} + \frac{49p}{16} + qx + \frac{7q}{4} + p = px^2 - \frac{7px}{2} + \frac{49p}{16} + \frac{7q}{4} - qx + p
Burada px^2 ve \frac{49p}{16} ile p terimleri her iki tarafta da iptal olur, geriye kalan:
\frac{7px}{2} + qx = -\frac{7px}{2} - qx
Adım 2: Terimleri karşılaştıralım:
\frac{7px}{2} + qx = -\frac{7px}{2} - qx
\frac{7px}{2} + qx = -\frac{7px}{2} - qx
(\frac{7p}{2} + q)x = -(\frac{7p}{2} + q)x
Buradan, (\frac{7p}{2} + q)x = 0. x için x \neq 0 ise (çünkü tüm reel sayılarda eşitlik sağlanıyor),
\frac{7p}{2} + q = 0
7p + 2q = 0
q = -\frac{7p}{2}
Adım 3: g(x) = 7x + p ile f(x) = g(x) denklemini sağlayalım.
px^2 + qx + p = 7x + p
px^2 + qx = 7x
px^2 + qx - 7x = 0
px^2 + (q - 7)x = 0
Tek köke sahip olduğu bilgisi, a(p)=0 ya da q - 7 = 0 anlamına gelir.
q - 7 = 0
q = 7
Elimizde iki durum var:
q = 7
q = -\frac{7p}{2}
Bu iki durumu karşılaştıralım,
-\frac{7p}{2} = 7
p = -2
p + q toplamı:
p = -2
q = 7
p + q = -2 + 7 = 5
Cevap: D) 5