P ve Q Gerçek Sayılar Olmak Üzere, f(x) = px^2 + qx + p Fonksiyonu İçin Tüm Reel Sayılarda Eşitliği Sağlanıyor:
f \left( \frac{x+7}{4} \right) = f \left( \frac{7-x}{4} \right)
Öncelikle verilen eşitliği düzenleyelim ve fonksiyonların değerlerini hesaplayarak bilinmeyen p ve q değerlerini bulalım.
Adım 1: Fonksiyon değerlerini hesaplayalım
Fonksiyonu verilen ifadede yerine yazalım:
f(x) = px^2 + qx + p
Verilen eşitlikte, f \left( \frac{x+7}{4} \right) ve f \left( \frac{7-x}{4} \right) değerlerini bulmamız gerekmekte.
f \left( \frac{x+7}{4} \right) = p \left( \frac{x+7}{4} \right)^2 + q \left( \frac{x+7}{4} \right) + p
f \left( \frac{7-x}{4} \right) = p \left( \frac{7-x}{4} \right)^2 + q \left( \frac{7-x}{4} \right) + p
Adım 2: Fonksiyonun ifadelerini açalım
\left( \frac{x+7}{4} \right)^2 = \frac{(x+7)^2}{16} = \frac{x^2 + 14x + 49}{16}
f \left( \frac{x+7}{4} \right) = p \left( \frac{x^2 + 14x + 49}{16} \right) + q \left( \frac{x+7}{4} \right) + p
f \left( \frac{x+7}{4} \right) = \frac{p}{16} (x^2 + 14x + 49) + \frac{q}{4} (x+7) + p
Diğer eşitlik için de:
\left( \frac{7-x}{4} \right)^2 = \frac{(7-x)^2}{16} = \frac{49 - 14x + x^2}{16}
f \left( \frac{7-x}{4} \right) = p \left( \frac{49 - 14x + x^2}{16} \right) + q \left( \frac{7-x}{4} \right) + p
f \left( \frac{7-x}{4} \right) = \frac{p}{16} (49 - 14x + x^2) + \frac{q}{4} (7-x) + p
Adım 3: Bu iki eşitliği birbirine eşitleyelim
\frac{p}{16} (x^2 + 14x + 49) + \frac{q}{4} (x+7) + p = \frac{p}{16} (49 - 14x + x^2) + \frac{q}{4} (7-x) + p
Bu ifade netleştirildikten sonra:
14x + 7q = -14x + 7q
ve sabitler:
p = p
İfadeleri karşılaştırılır:
14px + xq = -14px - xq
Bu denklemde p + q:
14px + xq = -14px - xq
Değerlemeleri çözerek:
p=q
Adım 4: Bu bağıntılar mikro değişkenler hesaplar:
f (7) =f ( -7)
Bu bağıntıyı çözerek
$$f(7) - f (-7) =0$$
toplayarak:
$$p + q =5$$
Sonuç:
Peki değerinde 5 sonucu p ve q toplamlardır. Netice:
\boxed{5}