Verilen Fonksiyon Sorusu
Cevap:
Bu soru, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmamızı istiyor. Soruya göre, fonksiyon ( f ), reel sayılardan yine reel sayılara bir fonksiyon. Verilen durum ise ( f(x+1) = x \cdot f(x) ) olarak ifade ediliyor. Ayrıca ( f(2) = 1 ) bilgisi de verilmiş. Bizden istenen ( f(12) ) değerini bulmak.
Adım 1: Verilen Eşitliğe Göre Fonksiyonun İlerleyişini İnceleyelim
Başlangıç noktası olarak verilen eşitliği dikkate alarak bazı değerleri bulmaya çalışalım:
- ( f(2) = 1 ) verilmiş. Bunu kullanarak diğer ( f(x) ) değerlerini bulacağız.
Verilen:
[ f(x+1) = x \cdot f(x) ]
Adım 2: İlerleyen Değerlerin Hesaplanması
Bu bilgiyi kullanarak fonksiyonun diğer değerlerini bulmaya çalışalım:
-
( x = 2 ) alalım. Buna göre:
[ f(3) = 2 \cdot f(2) = 2 \cdot 1 = 2 ] -
( x = 3 ) alalım:
[ f(4) = 3 \cdot f(3) = 3 \cdot 2 = 6 ] -
( x = 4 ) alalım:
[ f(5) = 4 \cdot f(4) = 4 \cdot 6 = 24 ] -
( x = 5 ) alalım:
[ f(6) = 5 \cdot f(5) = 5 \cdot 24 = 120 ]
Adım 3: İlerleyen Değerlerin Genel Deseninin Bulunması
Bu değerler arasında dikkat ettiğiniz bir özellik var mı? Görebileceğimiz üzere, hesapladığımız değerler faktöriyel ile ilgilidir.
Daha genel bir ifadeyle:
[ f(n+2) = n! \cdot f(2) ]
Ve ( f(2) = 1 ) olduğuna göre, ( f(n+2) = n! ) olarak buluruz.
Örneğin:
- ( f(3) = 2! \cdot 1 = 2 )
- ( f(4) = 3! \cdot 1 = 6 )
- ( f(5) = 4! \cdot 1 = 24 )
Adım 4: İstenen Değerin Hesaplanması
Bu çıkarsamaya göre ( f(12) ) değerini bulalım:
[ f(12) = 10! ]
Buradan ( f(12) ) değerinin ( 10! ) olduğunu görebiliriz.
Sonuç:
[
f(12) = 10! = 3628800
]
Nihai Cevap:
( f(12) = 3628800 )