Bayram_Can’ın sorunuzu açıkladığı görseldeki soru şu şekilde özetlenebilir:
Soru:
Bir B kutusunun, bir sarmal taşıyıcı üzerindeki hareketi, aşağıdaki konum vektörü ile tanımlanmaktadır:
r = \{0.5 \sin(2\pi t)i + 0.5 \cos(2\pi t)j - 0.2tk\} \, \text{m}
Burada t = 0.75 \, \text{s} iken kutunun ivmesini nasıl belirleriz?
Çözüm:
1. Konum Vektörünü Türevi Alarak Hız Vektörünü Bulma
Öncelikle konum vektörünün türevini alarak hız vektörünü bulalım:
v(t) = \frac{dr}{dt} = \left(\frac{d}{dt}(0.5 \sin(2\pi t))\right)i + \left(\frac{d}{dt}(0.5 \cos(2\pi t))\right)j + \left(\frac{d}{dt}(-0.2t)\right)k
Hesaplayalım:
- 0.5 \sin(2\pi t)'nin türevi: 0.5 \cdot 2\pi \cos(2\pi t) = \pi \cos(2\pi t)
- 0.5 \cos(2\pi t)'nin türevi: -0.5 \cdot 2\pi \sin(2\pi t) = -\pi \sin(2\pi t)
- -0.2t'nin türevi: -0.2
Buna göre hız vektörü:
v(t) = \pi \cos(2\pi t) i - \pi \sin(2\pi t) j - 0.2k
2. Hız Vektörünü Türevi Alarak İvme Vektörünü Bulma
Hız vektörünün türevini alarak ivmeyi bulalım:
a(t) = \frac{dv}{dt} = \left(\frac{d}{dt}(\pi \cos(2\pi t))\right)i + \left(\frac{d}{dt}(-\pi \sin(2\pi t))\right)j + \left(\frac{d}{dt}(-0.2)\right)k
Hesaplayalım:
- \pi \cos(2\pi t)'nin türevi: -\pi \cdot 2\pi \sin(2\pi t) = -2\pi^2 \sin(2\pi t)
- -\pi \sin(2\pi t)'nin türevi: -\pi \cdot 2\pi \cos(2\pi t) = -2\pi^2 \cos(2\pi t)
- -0.2'nin türevi: 0
Buna göre ivme vektörü:
a(t) = -2\pi^2 \sin(2\pi t) i - 2\pi^2 \cos(2\pi t) j
3. t = 0.75 \, \text{s} İçin İvme Vektörünü Hesaplama
Şimdi t = 0.75 \, \text{s} için ivme vektörünü hesaplayalım:
- \sin(2\pi \cdot 0.75) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1
- \cos(2\pi \cdot 0.75) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0
Buna göre:
a(0.75) = -2\pi^2 (-1) i - 2\pi^2 (0) j = 2\pi^2 i
Bu nedenle kutunun ivmesi 2\pi^2 \, \text{m/s}^2 yönünde i ekseni doğrultusundadır.
Özet: t = 0.75 \, \text{s} anında kutunun ivmesi 2\pi^2 \, \text{m/s}^2 olarak bulunur.