Verilen Konum Vektörü İle İvmenin Belirlenmesi
Soru: Bir B kutusunun Şekil’de gösterilen bir sarmal taşıyıcı üzerindeki hareketi, t saniye cinsinden, sinüs ve kosinüsün argümanları radyan (\pi rad = 180^\circ) cinsinden verilmek üzere, r = \{ 0.5 \sin(2t)i + 0.5 \cos(2t)j - 0.2tk\} m konum vektörü ile tanımlanıyor. t = 0.75 s iken kutunun ivmesini belirleyiniz.
Çözüm Adımları:
-
Konum Vektörü:
$$ r(t) = 0.5 \sin(2t) \hat{i} + 0.5 \cos(2t) \hat{j} - 0.2t \hat{k} $$ -
Hız Vektörünü Bulma:
Konum vektörünün zamana göre türevini alarak hız vektörünü elde ederiz:
$$ v(t) = \frac{dr}{dt} = (0.5 \cdot 2\cos(2t)) \hat{i} - (0.5 \cdot 2\sin(2t)) \hat{j} - 0.2 \hat{k} $$
$$ v(t) = \cos(2t) \hat{i} - \sin(2t) \hat{j} - 0.2 \hat{k} $$ -
İvme Vektörünü Bulma:
Hız vektörünün zamana göre türevini alarak ivme vektörünü elde ederiz:
$$ a(t) = \frac{dv}{dt} = (-2\sin(2t)) \hat{i} - (2\cos(2t)) \hat{j} $$
a(t) vektöründe \hat{k} bileşeni yoktur çünkü hız vektöründe bu bileşen sabittir ve türevi sıfırdır. -
İvmenin t = 0.75 s’deki Değeri:
Şimdi ivme vektörünü belirli bir anda hesaplayalım:- t = 0.75 s iken a(t) hesaplanır:
$$ a(0.75) = -2\sin(1.5) \hat{i} - 2\cos(1.5) \hat{j} $$
Burada \sin(1.5) ve \cos(1.5) değerlerini hesaplayarak ivmeyi buluruz.
- t = 0.75 s iken a(t) hesaplanır:
Örnek Hesaplama:
- \sin(1.5) \approx 0.997
- \cos(1.5) \approx 0.0707
Bu durumda:
$$ a(0.75) \approx -2 \cdot 0.997 \cdot \hat{i} - 2 \cdot 0.0707 \cdot \hat{j} $$
$$ a(0.75) \approx -1.994 \hat{i} - 0.1414 \hat{j} $$
Sonuç olarak kutunun ivmesi:
- a_x = -1.994 \, \text{m/s}^2
- a_y = -0.1414 \, \text{m/s}^2
- a_z = 0 \, \text{m/s}^2
Özet: t = 0.75 s anındaki ivme vektörü a(0.75) = -1.994 \hat{i} - 0.1414 \hat{j} olarak bulunmuştur.