Dinamikısa3

Üniversite Makine Mühendisliği
1

Ekran görüntüsü 2024-12-17 213438
Ekran görüntüsü 2024-12-17 2134381549×503 42 KB

2

Bir B kutusunun Şekil’de gösterilen bir sarmal taşıyıcı üzerindeki hareketi, t saniye cinsinden, sinüs ve kosinüsün argümanları radyan (\pi \, \text{rad} = 180^\circ cinsinden verilmek üzere, r = \{ 0.5 \sin(2t) \mathbf{i} + 0.5 \cos(2t) \mathbf{j} -0.2t\mathbf{k} \} konum vektörü ile tanımlanıyor. t = 0.75 \, \text{s} iken kutunun ivmesini belirleyiniz?

Bu problemi çözmek için adım adım konum vektöründen hız ve ivme vektörlerini türetelim.

1. Konum Vektörü

Konum vektörümüz:

\mathbf{r} = 0.5 \sin(2t) \mathbf{i} + 0.5 \cos(2t) \mathbf{j} - 0.2t \mathbf{k}

2. Hız Vektörü

Hız vektörünü bulmak için konum vektörünün zaman türevini alalım:

\mathbf{v} = \frac{d}{dt}\mathbf{r} = \frac{d}{dt}(0.5 \sin(2t) \mathbf{i} + 0.5 \cos(2t) \mathbf{j} - 0.2t \mathbf{k})

Bu türevi alırken:

  • \sin(2t)'nin türevi 2 \cos(2t)
  • \cos(2t)'nin türevi -2 \sin(2t)
  • -0.2t’nin türevi ise -0.2

Böylece hız vektörü:

\mathbf{v} = 0.5 \cdot 2 \cos(2t) \mathbf{i} - 0.5 \cdot 2 \sin(2t) \mathbf{j} - 0.2 \mathbf{k}
\mathbf{v} = \cos(2t) \mathbf{i} - \sin(2t) \mathbf{j} - 0.2 \mathbf{k}

3. İvme Vektörü

İvme vektörünü bulmak için hız vektörünün zaman türevini alalım:

\mathbf{a} = \frac{d}{dt}\mathbf{v} = \frac{d}{dt}(\cos(2t) \mathbf{i} - \sin(2t) \mathbf{j} - 0.2 \mathbf{k})

Bu türevi alırken:

  • \cos(2t)'nin türevi -2 \sin(2t)
  • \sin(2t)'nin türevi 2 \cos(2t)

Böylece ivme vektörü:

\mathbf{a} = -2 \cdot \sin(2t) \mathbf{i} - 2 \cdot \cos(2t) \mathbf{j}
\mathbf{a} = -2 \sin(2t) \mathbf{i} - 2 \cos(2t) \mathbf{j}

4. İvmenin Zaman t = 0.75 s’deki Değeri

Şimdi t = 0.75 \, \text{s} için \mathbf{a}’yı hesaplayalım:

\mathbf{a} = -2 \sin(1.5) \mathbf{i} - 2 \cos(1.5) \mathbf{j}
  • \sin(1.5) \approx 0.997
  • \cos(1.5) \approx 0.0707

Bu değerleri yerine koyarsak:

\mathbf{a} = -2 \times 0.997 \mathbf{i} - 2 \times 0.0707 \mathbf{j}
\mathbf{a} \approx -1.994 \mathbf{i} - 0.1414 \mathbf{j}

Böylece, kutunun ivmesi t = 0.75 \, \text{s} iken yaklaşık olarak -1.994 \mathbf{i} - 0.1414 \mathbf{j} olacaktır.