Görselde bir kutunun helisel bir yol üzerindeki hareket durumu verilmektedir. Bu soruda, t = 0.75 \text{ s} anında B kutusunun konum vektörünün doğrultusunu bulmanız isteniyor. Konum vektörü şu şekilde verilmiş:
\mathbf{r}(t) = \{0.5 \sin(2t) \mathbf{i} + 0.5 \cos(2t) \mathbf{j} - 0.2t \mathbf{k}\} \, \text{m}
Adım Adım Çözüm:
-
Zamanı Yerleştirin:
t = 0.75 \, \text{sn} değerini yerleştirin:\mathbf{r}(0.75) = \{0.5 \sin(2 \times 0.75) \mathbf{i} + 0.5 \cos(2 \times 0.75) \mathbf{j} - 0.2 \times 0.75 \mathbf{k}\} -
Trigonometrik Hesaplamalar:
- 2 \times 0.75 = 1.5 radyan olduğundan,
- \sin(1.5) \approx 0.997 ve \cos(1.5) \approx 0.0707 değerlerini kullanabilirsiniz.
\mathbf{r}(0.75) = \{0.5 \times 0.997 \, \mathbf{i} + 0.5 \times 0.0707 \, \mathbf{j} - 0.15 \, \mathbf{k}\}\mathbf{r}(0.75) \approx \{0.4985 \, \mathbf{i} + 0.03535 \, \mathbf{j} - 0.15 \, \mathbf{k}\} -
Doğrultu Açılarını Hesaplayın:
Doğrultu kosinüsleri kullanılarak, \alpha, \beta, \gamma açıları bulunur:
- \alpha: \cos(\alpha) = \frac{\text{i bileşeni}}{|\mathbf{r}|},
- \beta: \cos(\beta) = \frac{\text{j bileşeni}}{|\mathbf{r}|},
- \gamma: \cos(\gamma) = \frac{\text{k bileşeni}}{|\mathbf{r}|}.
Vektörün büyüklüğünü (|\mathbf{r}|) bulmak için:
|\mathbf{r}| = \sqrt{(0.4985)^2 + (0.03535)^2 + (-0.15)^2}|\mathbf{r}| \approx \sqrt{0.2485 + 0.001249 + 0.0225} \approx \sqrt{0.272249} \approx 0.5218Açılar:
- \cos(\alpha) = \frac{0.4985}{0.5218} \rightarrow \alpha \approx 17.1^\circ
- \cos(\beta) = \frac{0.03535}{0.5218} \rightarrow \beta \approx 86.2^\circ
- \cos(\gamma) = \frac{-0.15}{0.5218} \rightarrow \gamma \approx 106^\circ
Verilen seçeneklere göre doğru cevap (a şıkkı) \alpha = 17.1^\circ, \beta = 86.2^\circ, \gamma = 116^\circ olacaktır.