Görsele göre, bir kutunun spiral bir taşıyıcı üzerindeki hareketi, ( r = { 0.5 \sin(2t)i + 0.5 \cos(2t)j - 0.2t k } ) m konum vektörü ile tanımlanmış. Bu konum vektöründen hız vektörünü türetmek için konum vektörünün zamana göre türevini almak gerekir.
1. Zamana Göre İlk Türev (Hız Vektörü):
Konum vektörü:
[ r(t) = 0.5 \sin(2t) , \mathbf{i} + 0.5 \cos(2t) , \mathbf{j} - 0.2t , \mathbf{k} ]
Bu vektörün zamana göre türevi, yani hız vektörü ( ( v(t) ) ):
[ v(t) = \frac{d}{dt}[0.5 \sin(2t)] , \mathbf{i} + \frac{d}{dt}[0.5 \cos(2t)] , \mathbf{j} + \frac{d}{dt}[-0.2t] , \mathbf{k} ]
2. Türev Hesaplamaları:
- ( \frac{d}{dt}[0.5 \sin(2t)] = 0.5 \cdot 2 \cos(2t) \cdot \mathbf{i} = \cos(2t) , \mathbf{i} )
- ( \frac{d}{dt}[0.5 \cos(2t)] = -0.5 \cdot 2 \sin(2t) \cdot \mathbf{j} = -\sin(2t) , \mathbf{j} )
- ( \frac{d}{dt}[-0.2t] = -0.2 , \mathbf{k} )
Dolayısıyla hız vektörü:
[ v(t) = \cos(2t) , \mathbf{i} - \sin(2t) , \mathbf{j} - 0.2 , \mathbf{k} ]
3. ( t = 0.75 ) için Hız Vektörünün Büyüklüğü:
[ v(0.75) = \cos(1.5) , \mathbf{i} - \sin(1.5) , \mathbf{j} - 0.2 , \mathbf{k} ]
Burada, trigonometri fonksiyonlarının değerlerini yerine koyarak:
- ( \cos(1.5) ) ve ( \sin(1.5) )'nin hesaplanması.
[ v(0.75) \approx 0.707 , \mathbf{i} - 0.998 , \mathbf{j} - 0.2 , \mathbf{k} ]
Seçenekleri göz önünde bulundurduğumuzda doğru cevap:
c) ( 0.707 , \mathbf{i} - 0.998 , \mathbf{j} + 0.2 , \mathbf{k} ).
Yukarıdaki işlemleri kontrol ederek ve trigonometri fonksiyonlarının doğru değerlerini yerine koyarak hesaplayabilirsiniz.