Verilen Sorunun Çözümü
Şekilde gösterilen OA çubuğunun hareketi verilmiştir. Çubuk, θ = t^3 rad olacak şekilde yatay düzlemde dönmektedir. Aynı zamanda, B bileziği, r = (100 \, t^2) mm olmak üzere, OA boyunca dışarıya doğru kaymaktadır. Bu sistemde, t = 1 \, s iken bileziğin ivmesi, a = a_r \, \mathbf{u_r} + a_θ \, \mathbf{u_θ} formülüyle hesaplanacaktır.
1. Pozisyon, Hız ve İvme Bileşenleri
Pozisyon Bileşenleri
- Açı: θ(t) = t^3
- Yarıçap: r(t) = 100 t^2
Hız Bileşenleri
- Açı hızı: \dot{θ} = \frac{dθ}{dt} = 3t^2
- Yarıçap hızı: \dot{r} = \frac{dr}{dt} = 200t
İvme Bileşenleri
- Açı ivmesi: \ddot{θ} = \frac{d\dot{θ}}{dt} = \frac{d(3t^2)}{dt} = 6t
- Yarıçap ivmesi: \ddot{r} = \frac{d\dot{r}}{dt} = \frac{d(200t)}{dt} = 200
2. Bilezik İvmesi
Bileziğin ivmesi aşağıdaki bileşenlerden oluşur:
- a_r = \ddot{r} - r \dot{θ}^2 = 200 - 100t^2(3t^2)^2
- a_θ = r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ} = 100t^2 (6t) + 2(200t)(3t^2)
t = 1 \, s için değerler yerine konulursa:
Radyal İvme (a_r)
a_r = 200 - 100(1)^2(3(1)^2)^2 = 200 - 100 \cdot 1 \cdot 9 = 200 - 900 = -700 \, \text{mm/s}^2
Açısal İvme (a_θ)
a_θ = 100(1)^2(6 \cdot 1) + 2(200 \cdot 1)(3 \cdot 1^2)
a_θ = 600 + 1200 = 1800 \, \text{mm/s}^2
3. Sonuç
Bileziğin t = 1 \, s zamanındaki ivmesi:
- Radyal Bileşeni: a_r = -700 \, \text{mm/s}^2
- Açısal Bileşeni: a_θ = 1800 \, \text{mm/s}^2
Sonuç olarak, bileziğin ivme vektörü şu şekilde olur:
\mathbf{a} = -700 \, \mathbf{u_r} + 1800 \, \mathbf{u_θ} \, \text{mm/s}^2
Bu, bileziğin t = 1 \, s anındaki tam ivmesini tanımlar ve bu analiz, dinamik sistemlerin açısal ve doğrusal hareketlerinin incelenmesinde önemli bir örnektir.