Verilen Denklem ve Bilgiler
Verilen soruda, kutupsal koordinatlarda bir hareketle ilgili veriler verilmiştir. Denklem şu şekildedir:
- ( r = \theta^2 )
- ( \theta = 2t )
Burada ( r ) yarıçap vektörü, ( \theta ) ise açısal pozisyonu temsil etmektedir. Hedefimiz, ( t = 2 ) anında ( \dot{r} ) (radial hız) ve ( \ddot{\theta} ) (açısal ivme) değerlerini bulmaktır.
Çözüm Adımları
1. ( \theta )'nın Türevi: ( \dot{\theta} )
İlk olarak, ( \theta = 2t ) olduğundan, ( \theta )'nın zamana göre türevini alarak ( \dot{\theta} )'yı buluruz:
[
\dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(2t) = 2
]
2. ( r )'nin Türevi: ( \dot{r} )
( r = \theta^2 ) olduğuna göre, zamanı kullanarak ( r )'nin türevini alarak ( \dot{r} )'yi bulabiliriz. Bu denklemi ( \theta )'ya göre türevleyip sonuçta ( \theta )'nın türevini çarparız:
[
\frac{dr}{d\theta} = 2\theta
]
[
\frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt} = 2\theta \cdot \dot{\theta}
]
Bulduğumuz değerlerin yerine koyarsak:
[
\dot{r} = 2\theta \cdot 2 = 4\theta
]
( \theta = 2t ) olduğuna göre ve ( t = 2 ) için:
[
\theta = 2 \times 2 = 4
]
Dolayısıyla:
[
\dot{r} = 4 \times 4 = 16 \text{ cm/s}
]
3. ( \theta )'nın İkinci Türevi: ( \ddot{\theta} )
( \dot{\theta} = 2 ) olduğuna göre, bu sabit bir değerdir. Dolayısıyla ( \ddot{\theta} ) yani açısal hızın değişim hızı:
[
\ddot{\theta} = \frac{d\dot{\theta}}{dt} = \frac{d}{dt}(2) = 0
]
4. Bulunan Değerler
Bu hesaplamalara göre, ( t = 2 ) anında:
- ( \dot{r} = 16 \text{ cm/s} )
- ( \ddot{\theta} = 0 \text{ rad/s}^2 )
Doğru cevap: 2. seçenek: 16 cm/s, 0 rad/s²
Bu adımlar, verilen hareket denklemleri kullanılarak ( t = 2 ) anında ilgili hız ve ivme bileşenlerini doğru şekilde hesaplamamızı sağlar. Her adımı dikkatlice izleyerek, türev alma işlemlerini kontrol ettik, böylece sonucun doğruluğunu sağladık.