Soru: Şekilde verilen düzende, iki yük ( q_X ve q_Y ) ve iki nokta ( K ve L ) bulunmaktadır. K noktasının potansiyeli V_K, L noktasının potansiyeli V_L olarak ölçüldüğünde,
olduğu bilinmektedir. Buna göre, \tfrac{q_Y}{q_X} oranı kaçtır?
Çözüm Adımları
-
Noktalar Arasındaki Uzaklıklar
Şekle göre noktaların ve yüklerin bir doğru üzerinde şu şekilde konumlandığını varsayalım (soldan sağa):
L — d — ∙ — d — qᵧ — d — K — d — qₓ
Buna göre kabaca uzaklıklar:- L ile q_X arası: 4d
- L ile q_Y arası: 2d
- K ile q_X arası: d
- K ile q_Y arası: d
-
Noktaların Potansiyelleri
Elektriksel potansiyel, bir noktadaki bütün yüklerin katkılarının cebirsel toplamıdır. Coulomb sabiti k ortak çarpan olarak alınabilir.- L noktasının potansiyeli:V_L = k \left(\frac{q_X}{4d} + \frac{q_Y}{2d}\right).
- K noktasının potansiyeli:V_K = k \left(\frac{q_X}{d} + \frac{q_Y}{d}\right).
- L noktasının potansiyeli:
-
Oran Eşitliğini Kurmak
Verilen bilgiye göre:\frac{V_L}{V_K} \;=\; -\frac{1}{2}.Ortak çarpan k/d ile sadeleştirme yapılırsa:
\frac{\tfrac{q_X}{4} + \tfrac{q_Y}{2}}{q_X + q_Y} \;=\; -\frac{1}{2}. -
\tfrac{q_Y}{q_X} Oranını Bulmak
Kolaylık için r = \tfrac{q_Y}{q_X} diyelim. Dolayısıyla q_Y = r \, q_X yazabiliriz. Denklem:\frac{\tfrac{q_X}{4} + \tfrac{(r\,q_X)}{2}}{q_X + r\,q_X} \;=\; -\frac{1}{2}.q_X sadeleştirilince:
\frac{\frac{1}{4} + \frac{r}{2}}{1 + r} \;=\; -\frac{1}{2}.İçler dışlar çarpımıyla çözüldüğünde:
\frac{1}{4} + \frac{r}{2} = -\frac{1}{2}(1+r) \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{4} + \frac{r}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{r}{2}.Buradan
\frac{1}{4} + \frac{r}{2} + \frac{1}{2} + \frac{r}{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{4} + r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = -\frac{3}{4}.Yani
\frac{q_Y}{q_X} = -\frac{3}{4}.
Özeti Tablo
| Uzaklık | Değer |
|---|---|
| L–qₓ | 4d |
| L–qᵧ | 2d |
| K–qₓ | d |
| K–qᵧ | d |
| Sonuç: q_Y / q_X | -3/4 |
Cevap: \displaystyle -\frac{3}{4}