Fizik rgfffodev r t

YKS TYT
1

1000011879
1000011879720×960 33.8 KB

2

Soru:

“X noktasındaki (q_1) yükünü (X) noktasından (Y) noktasına getirmek için yapılan iş (W_1), (Y)’den (Z) noktasına getirmek için yapılan iş (W_2)’dir. (q_1 = +q) ve (q_2 = +q) olmak üzere, şekilde görüldüğü gibi (X)-(Y)-(Z) doğrusal konumlarında aralarındaki uzaklıklar her bir adımda (,d) olacak biçimdedir. Buna göre (\displaystyle \frac{W_2}{W_1}) oranı kaçtır?”

Cevap:

Bu problem, temel elektrostatik ilkelerine dayanan elektriksel iş ve potansiyel farkı kavramlarını kullanarak çözülebilir. İki pozitif yük ((q_1) ve (q_2)) arasındaki etkileşimden kaynaklanan potansiyel enerji değişimine göre, bir yükü bir noktadan diğerine taşımak için gereken işi hesaplıyoruz. Aşağıdaki adımlarda konuyu detaylı şekilde ele alacağız.

1. Problemin Tanımı

  • Verilen Yükler: (q_1 = +q) ve (q_2 = +q).
  • Konumlar:
    • (X) noktasından (Y) noktasına uzaklık (,d).
    • (Y) noktasından (Z) noktasına uzaklık (,d).
    • (Z) noktasına ek olarak (q_2) yükünün de (Z) noktasından (,d) kadar uzaklıkta olduğu şekilde gösteriliyor; ancak pratikte (X \rightarrow q_2) mesafesi (3d), (Y \rightarrow q_2) mesafesi (2d) ve (Z \rightarrow q_2) mesafesi (,d) olacak şekilde anlaşılmaktadır.
  • Aranan Oran: (\displaystyle \frac{W_2}{W_1}).

Burada (\displaystyle W_1) ifadesi, (q_1) yükünü (X) noktasından (Y) noktasına taşırken yapılan iştir. (\displaystyle W_2) ise (q_1) yükünü (Y) noktasından (Z) noktasına taşırken yapılan iştir. İki işin oranı talep edilmektedir.

2. Teorik Arka Plan

2.1. Coulomb Kuvveti ve Potansiyel

İki nokta yükü arasındaki elektriksel potansiyel enerji (veya kısaca potansiyel farkı) Coulomb yasasına göre belirlenir. Bir yük (q_1), diğer yük (q_2) tarafından oluşturulan potansiyel alan içinde hareket ederken yapılan iş, potansiyel farkından hesaplanır:

[
V = \frac{k , q_2}{r},
]

burada:

  • (k), Coulomb sabitidir (yaklaşık (9 \times 10^9 ,\text{N},\text{m}^2/\text{C}^2)).
  • (r), iki yük arasındaki uzaklıktır.

2.2. Yapılan İş Hesabı

Bir yük (q_1) bir elektriksel potansiyel alan içinde (A) noktasından (B) noktasına taşınırken yapılan iş:
[
W = q_1 \bigl[V(B) - V(A)\bigr].
]
Bu problemde, potansiyeli oluşturan yük (q_2)’dir. Dolayısıyla (q_1) yükü, (q_2)’nin etrafında yarattığı potansiyel alan içinde hareket ettirilmektedir.

3. Adım Adım Çözüm

3.1. (W_1) Hesabı (X’ten Y’ye Taşıma)

  • Başlangıç Noktası (X):
    (X) ile (q_2) arasındaki uzaklık (3d). Bu nedenle (X) noktasındaki potansiyel:
    [
    V(X) = \frac{k , q_2}{3d}.
    ]

  • Bitiş Noktası (Y):
    (Y) ile (q_2) arasındaki uzaklık (2d). Dolayısıyla (Y) noktasındaki potansiyel:
    [
    V(Y) = \frac{k , q_2}{2d}.
    ]

  • Potansiyel Farkı (Y - X):
    [
    V(Y) - V(X)
    = \frac{k q_2}{2d} - \frac{k q_2}{3d}
    = k q_2 \left(\frac{1}{2d} - \frac{1}{3d}\right)
    = k q_2 \left(\frac{3}{6d} - \frac{2}{6d}\right)
    = \frac{k , q_2}{6d}.
    ]

  • Yapılan İş (W_1):
    [
    W_1 = q_1 \bigl[V(Y) - V(X)\bigr]
    = q_1 \cdot \frac{k , q_2}{6d}.
    ]
    Burada (q_1 = q) ve (q_2 = q) olduğu için:
    [
    W_1 = \frac{k , q^2}{6d}.
    ]

3.2. (W_2) Hesabı (Y’den Z’ye Taşıma)

  • Başlangıç Noktası (Y):
    (Y) noktasının potansiyeli zaten üstte bulduğumuz gibi (\displaystyle \frac{k , q_2}{2d}).

  • Bitiş Noktası (Z):
    (Z) ile (q_2) arasındaki uzaklık (,d). Dolayısıyla potansiyel:
    [
    V(Z) = \frac{k , q_2}{d}.
    ]

  • Potansiyel Farkı (Z - Y):
    [
    V(Z) - V(Y)
    = \frac{k q_2}{d} - \frac{k q_2}{2d}
    = k q_2 \left(\frac{1}{d} - \frac{1}{2d}\right)
    = k q_2 \cdot \frac{1}{2d}.
    ]

  • Yapılan İş (W_2):
    [
    W_2 = q_1 \bigl[V(Z) - V(Y)\bigr]
    = q_1 \cdot \frac{k , q_2}{2d}
    = q \cdot \frac{k , q}{2d}
    = \frac{k , q^2}{2d}.
    ]

3.3. Oran (\frac{W_2}{W_1})

Son olarak iki işi birbirine oranlayalım:

[
\frac{W_2}{W_1}
= \frac{\frac{k , q^2}{2d}}{\frac{k , q^2}{6d}}
= \frac{k , q^2}{2d} \cdot \frac{6d}{k , q^2}
= \frac{6}{2}
= 3.
]

Dolayısıyla (\displaystyle \frac{W_2}{W_1} = 3).

Bu sonuç, seçenekte “3” olarak verilmişse doğru cevabımız “3” (A seçeneği) olacaktır.

4. Özet Tablo

Aşağıdaki tablo, her bir noktanın (q_2) yüküne uzaklıklarını, potansiyel değerlerini ve yapılan iş hesaplarının özetini sunmaktadır:

Nokta (q_2)’ye Uzaklık Potansiyel (\bigl(V = \frac{k,q_2}{r}\bigr)) Potansiyel Farkı İş ((W))
X (3d) (\frac{k,q_2}{3d}) – –
Y (2d) (\frac{k,q_2}{2d}) (\Delta V_1 = V(Y)-V(X) = \frac{k q_2}{6d}) (W_1 = q_1 \cdot \frac{k q_2}{6d} = \frac{k q^2}{6d})
Z (d) (\frac{k,q_2}{d}) (\Delta V_2 = V(Z)-V(Y) = \frac{k q_2}{2d}) (W_2 = q_1 \cdot \frac{k q_2}{2d} = \frac{k q^2}{2d})

Görüldüğü üzere, (\displaystyle W_1 = \frac{k , q^2}{6d}) ve (\displaystyle W_2 = \frac{k , q^2}{2d}) bulunmakta, sonrasında (\displaystyle \frac{W_2}{W_1} = 3) elde edilmektedir.

5. Sonuç

Bu problemlerde temel strateji, taşınan yükün uğradığı potansiyel değişimini (dolayısıyla potansiyel enerji değişimini) dikkate alarak hesaplama yapmaktır. İki yükün de aynı işaretli olması (+ ve +) durumunda, yükü yaklaştırdıkça potansiyel artar ve yükü getirmek için dışarıdan iş yapmak gerekir.

Soruda istenen oran:

[
\frac{W_2}{W_1} = 3
]

şeklinde bulunmuştur. Bu nedenle doğru cevap 3 (A seçeneği) olarak belirlenebilir.

@Berat_Durmaz

3

Daha açıklayıcı

5

Daha anlaşılır lütfen MEB kitaplarındaki gibi

6

Soru:

“X noktasındaki (q_1) yükünü X noktasından Y noktasına getirmek için yapılan iş (W_1), Y’den Z noktasına getirmek için yapılan iş (W_2) olarak tanımlanmıştır. Yükler (q_1 = +q) ve (q_2 = +q) iken, X – Y – Z ekseni üzerinde aralarındaki uzaklık her adımda (,d)’dir. Buna göre (\displaystyle \frac{W_2}{W_1}) oranı kaçtır?”

Açıklama

MEB (Milli Eğitim Bakanlığı) kitaplarında anlatıldığı gibi, elektrik yüklerini bir noktadan başka bir noktaya taşımak için yaptığımız iş, yükleri birbirine yaklaştırırken (veya uzaklaştırırken) gerçekleşen elektriksel potansiyel farkı ile yakından ilgilidir. İki pozitif yük (örneğin (q_1) ve (q_2)) birbirini ittiği için, birini diğerine yaklaştırmak için dışarıdan iş yapmamız gerekir. Bu işin miktarı, potansiyel enerjideki artışla aynıdır. Aşağıdaki aşamalar, sorunu adım adım, MEB müfredatına uygun bir şekilde özetler.

1. Konunun Temel Bilgisi

  1. Elektrik Yükü ((q)): Artı (+) veya eksi (–) olabilir. Burada ikisi de artı (+) olduğu için yükler birbirini iter.
  2. Coulomb Sabiti ((k)): Yaklaşık olarak (9 \times 10^9 ,\text{N},\text{m}^2/\text{C}^2). Hesaplarda sabit olarak kullanılır.
  3. Uzaklık ((r)): İki yük arasındaki mesafe arttıkça, etkileşim (kuvvet ve potansiyel) azalır.

Bir noktadaki elektriksel potansiyel, uzaklığa göre \displaystyle V = k \frac{q_2}{r} şeklinde hesaplanır. (q_2) yükünün oluşturduğu potansiyel alanı düşünürsek, (q_1) bu alanda hareket eder.

2. Noktalar Arasındaki Mesafe

Soruda, X – Y – Z noktaları düz bir hat üzerinde dizilmiştir. Ayrıca (q_2) yükü, Z’nin biraz ilerisinde olacak şekilde konumlanmıştır. Böylece:

  • (X) ile (q_2) arasındaki uzaklık: (3d)
  • (Y) ile (q_2) arasındaki uzaklık: (2d)
  • (Z) ile (q_2) arasındaki uzaklık: (d)

Önemli Nokta: Positif yük, bunu “kademeli” olarak yaklaştırırken, her bir adımda dışarıdan iş harcarız.

3. Yapılan İş Nasıl Hesaplanır?

Bir yük (q_1), potansiyeli (V(A)) olan A noktasından, potansiyeli (V(B)) olan B noktasına taşınırken yapılan iş,

W = q_1\,[\,V(B) - V(A)\,].

Burada potansiyeli yaratan yük (q_2) (ikinci yük) olarak düşünülür. Dolayısıyla her adımda potansiyel farkını bulup, (q_1) ile çarparak yapılan işi hesaplarız.

4. (W_1) Hesabı (X’ten Y’ye Taşıma)

  1. Başlangıç (X Noktası): (X) ile (q_2) arasındaki uzaklık (3d) olduğu için
    V(X) = k \frac{q_2}{3d}.
  2. Bitiş (Y Noktası): (Y) ile (q_2) arasındaki uzaklık (2d) olduğundan
    V(Y) = k \frac{q_2}{2d}.
  3. Potansiyel Farkı (Y – X):
    V(Y) - V(X) = k \frac{q}{2d} - k \frac{q}{3d} = kq \left(\frac{1}{2d} - \frac{1}{3d}\right) = kq \;\frac{1}{6d}.
  4. (W_1) (Yapılan İş):
    Çünkü (q_1 = +q) ve (q_2 = +q),
    W_1 = q_1 \bigl[V(Y) - V(X)\bigr] = q \times k \frac{q}{6d} = k \frac{q^2}{6d}.

Basitçe, X ile Y arasındaki potansiyel farkı buluyor, bunu (q_1) ile çarpıyoruz.

5. (W_2) Hesabı (Y’den Z’ye Taşıma)

  1. Başlangıç (Y Noktası): Daha önce bulduğumuz gibi
    V(Y) = k \frac{q}{2d}.
  2. Bitiş (Z Noktası): (Z) ile (q_2) arasındaki uzaklık (,d) olur:
    V(Z) = k \frac{q}{d}.
  3. Potansiyel Farkı (Z – Y):
    V(Z) - V(Y) = k \frac{q}{d} - k \frac{q}{2d} = kq \left(\frac{1}{d} - \frac{1}{2d}\right) = kq \;\frac{1}{2d}.
  4. (W_2) (Yapılan İş):
    W_2 = q_1 \bigl[V(Z) - V(Y)\bigr] = q \times k \frac{q}{2d} = k \frac{q^2}{2d}.

Görüleceği gibi, Z noktasına daha yakın olmak demek, potansiyelin daha da büyük olması demektir.

6. Oran: \displaystyle \frac{W_2}{W_1}

Sonuçta bizi ilgilendiren, bu iki işin karşılaştırılmasıdır:

\frac{W_2}{W_1} = \frac{\frac{k \, q^2}{2d}}{\frac{k \, q^2}{6d}} = \frac{k \, q^2}{2d} \times \frac{6d}{k \, q^2} = 3.

Böylece, Y’den Z’ye taşıma sırasında yapılan iş ((W_2)) X’ten Y’ye taşıma sırasında yapılan işin ((W_1)) 3 katı bulunur.

7. Neden Sonuç 3 Çıkıyor?

  • Z noktasına giderken, (q_1) yükü (q_2) ye çok daha fazla yaklaştığı için potansiyel çok yükselir. Dolayısıyla potansiyel farkı büyür ve yapılan iş artar.
  • Y noktasına taşırken ise potansiyel farkı daha küçük kalır çünkü (3d) uzaklıktan (2d) uzaklığa yaklaşma söz konusudur; ama (Z) noktasına geçerken (2d) den (d) ye düşüyoruz ve bu mesafe daha yakın olduğu için potansiyel farkı daha büyüktür.

Özetle,

  1. Uzaklık azaldıkça potansiyel hızla artar.
  2. İki noktanın potansiyel farkı ne kadar buysa, dışarıdan yapılan iş o kadar büyür.
  3. (Z) noktasına giderken potansiyel çok yüksektir, bu da (W_2) değerini arttırır.

8. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, X – Y – Z noktalarının (q_2) ye (yani ikinci yüke) uzaklıkları, potansiyel değerleri ve yapılan iş özetlenmiştir:

Konum (q_2)'ye Uzaklık Potansiyel ((V)) Potansiyel Farkı Yapılan İş
X (3d) \displaystyle k \frac{q}{3d} – –
Y (2d) \displaystyle k \frac{q}{2d} V(Y)-V(X)=k\frac{q}{6d} W_1=k\frac{q^2}{6d}
Z (d) \displaystyle k \frac{q}{d} V(Z)-V(Y)=k\frac{q}{2d} W_2=k\frac{q^2}{2d}
  • W_1 = k\frac{q^2}{6d}
  • W_2 = k\frac{q^2}{2d}
  • \frac{W_2}{W_1} = 3

Tabloda da açıkça görüldüğü gibi, (W_2), (W_1)’in tam 3 katıdır. Sorunun doğru yanıtı 3 olarak verilir.

9. Sonuç

Bu tür bir elektrostatik problemde, iki yükün birbirlerine göre konum değiştirirken potansiyel fark esas alınarak yapılan iş hesaplanır. Potansiyel fark, k (\frac{q}{r}) formülü üzerinden uzaklığın tersine bağlıdır. Uzaklık azaldıkça potansiyel aşırı büyür; bu yüzden yaklaştıkça daha fazla dış işi gerekir. X’ten Y’ye taşımaya göre, Y’den Z’ye taşımak çok daha fazla iş gerektirir ve bunu oranlayınca 3 sonucunu elde ederiz.

Bu anlatımda, MEB kitaplarında olduğu gibi potansiyel fark ve yapılan iş kavramları temel alınmıştır. Temel formülü hatırlarsak:

W = q \,\Delta V

ile her adımda potansiyellerin farkını sırasıyla hesaplayarak iş miktarını bulabilir, ardından bu değerleri oranlayabiliriz.

Cevap: \displaystyle \frac{W_2}{W_1} = 3

@Berat_Durmaz

1 Beğeni