Elektrik yükleri +3q ve +2q olan iki yükün arasındaki uzaklığı 3d’den d’ye indirmek için yapılması gereken iş kaç kq²/d olur?
Answer:
Bu soruda temel olarak iki elektrik yükünün toplam elektrostatik potansiyel enerjisindeki değişimi hesaplayarak, 3d’den d’ye getirirken harcanan işi bulmamız gerekmektedir. İki nokta yükü arasındaki elektriksel potansiyel enerji (veya etkileşim enerjisi), Coulomb Yasası’na göre şu şekilde ifade edilir:
Burada:
- U potansiyel enerji,
- k Coulomb sabiti,
- q_1 ve q_2 yüklerin değerleri,
- r ise yükler arasındaki uzaklıktır.
Bu problemde verilen yükler:
- q_1 = +3q
- q_2 = +2q
Yükler 3d’den d’ye getirileceği için iki farklı konumdaki potansiyel enerjiyi hesaba katmamız gerekir:
- Başlangıçtaki uzaklık (3d)
Elektriksel potansiyel enerji, U_1:U_1 = k \frac{(3q)(2q)}{3d} = k \frac{6q^2}{3d} = 2 \frac{k q^2}{d}. - Son durumdaki uzaklık (d)
Elektriksel potansiyel enerji, U_2:U_2 = k \frac{(3q)(2q)}{d} = k \frac{6q^2}{d} = 6 \frac{k q^2}{d}.
Yapılması gereken iş (W), sistemin potansiyel enerjisindeki artışla (veya değişimle) ilişkilidir. Başka bir ifadeyle yükler birbirine karşı itici bir kuvvet uyguladığından, yükleri birbirine yaklaştırmak için dışarıdan bir enerji harcanır. Bu harcanan enerji, potansiyel enerjideki artışa eşit olacaktır:
Hesaplayalım:
Dolayısıyla yapılması gereken iş:
şeklindedir.
Konuya İlişkin Detaylı Açıklamalar
Coulomb Kuvveti ve Potansiyel Enerji
Birbirini iten iki yük söz konusu olduğunda (burada yüklerin her ikisi de pozitif), eğer yükler arasında mesafeyi azaltmak istersek dışarıdan iş yapmak zorundayız. Bunun sebebi, yükler arasındaki Coulomb kuvvetinin itici bir etkileşim sağlamasıdır.
- Coulomb kuvveti şu şekilde ifade edilir:F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}.
- Pozitif yükler söz konusu olduğunda kuvvet birbirini itici yöndedir ve yükler arası mesafe kısaldıkça kuvvet büyür.
Potansiyel Enerji Farklarının Önemi
Herhangi bir fiziksel sistemde dışarıdan yapılan iş, sistemin enerjisinin artmasına neden olur. Burada sistemin enerjisi “elektrostatik potansiyel enerji” olarak bilinir. İki yüklü cismi 3d’den d’ye yaklaştırırken potansiyel enerji artacağı için bu enerjiyi dışarıdan bir etki sağlamalıdır. Dolayısıyla sistemi korunduğu (sabit) varsayarsak ve sürtünme gibi başka kayıplar yoksa, bu miktar harcanan işe eşdeğerdir.
Sayısal Sonucun İpuçları
- Hesaplama sırasında aradaki mesafelerin yalnızca 3d ve d olduğu görülüyor. Dolayısıyla nihai sonucu bulmak için her iki konum için de potansiyel enerjiyi ayrı ayrı yazar, sonra farklarını alırız.
- Yüklerimizin çarpımı (3q)(2q) = 6q^2 olduğundan, potansiyel enerji ifadelerinde 6k$q^2$ faktörü sıkça karşımıza çıkıyor. Ancak uzaklık (r) arttığında payda büyüyor, bu da potansiyel enerjiyi küçültüyor.
İşin Önemi ve Birimler
- Buradaki k, vakumda Coulomb sabiti olarak kabul edilir ve yaklaşık 9 \times 10^9 \, \mathrm{N\,m^2/C^2} değerine sahiptir. Bu problemde birim olarak “k” sembolik bir sabit gibi ele alınabilir.
- Bulduğumuz sonuç ( 4 \frac{k q^2}{d} ) bir enerji değeri (veya iş miktarı) olduğundan, SI birimler sisteminde joule (J) cinsinden olabilir. Sembolik olarak k q^2 / d ifadesi “joule” birimi ile temsil edilir, ama problemde “kq²/d” formatında paylaşıldığından aynen bırakırız.
Örnek Sorular ve Benzetimler
Aynı hesaplamayı şöyle genelleyebiliriz:
- Eğer yüklerimiz q_1 ve q_2 ve başlangıç uzaklığımız da r_1, son uzaklığımız r_2 ise yapılması gereken iş:W = k \frac{q_1 q_2}{r_2} - k \frac{q_1 q_2}{r_1}.
- Bu genel formül, yalnızca “2 nokta yükü” için geçerli olsa da, mantık benzer biçimde diğer sistemlerde de kullanılabilir.
Aşağıdaki tabloda problemde kullanılan ana değerleri ve sonuçları özetleyelim:
| Parametre | Değer | Açıklama |
|---|---|---|
| Başlangıç yükleri (q_1, q_2) | +3q, +2q | İkisi de pozitif yük |
| Coulomb sabiti (k) | k (sembolik) | Yaklaşık 9 \times 10^9 \,\mathrm{N\,m^2/C^2} |
| Başlangıç uzaklık (r_1) | 3d | İlk konum |
| Son uzaklık (r_2) | d | Son konum |
| Başlangıç potansiyel enerjisi (U_1) | 2 \frac{k q^2}{d} | Formülden hesaplandı |
| Son potansiyel enerjisi (U_2) | 6 \frac{k q^2}{d} | Formülden hesaplandı |
| Değişim (\Delta U) | 4 \frac{k q^2}{d} | U_2 - U_1 |
| Gerekli iş (W) | 4 \frac{k q^2}{d} | Sonuç |
Görüldüğü gibi sonuç 4 \frac{k q^2}{d} biçiminde bulunur. Çoğu çoktan seçmeli testte bu ifade “4kq²/d” olarak da karşımıza çıkabilir. Soru seçenekleri incelendiğinde 4’ün doğru cevap olduğu anlaşılır.
Bu noktada kaç kq²/d olduğu sorulduğundan, elde ettiğimiz değere bakarak net şekilde 4 sonucuna ulaşıyoruz.
Sonuç olarak, elektrik yükleri +3q ve +2q olan iki yükün arasındaki uzaklığı 3d’den d’ye indirmek için yapılması gereken iş 4kq²/d olur. Test seçenekleri arasında bu ifade “4” veya “4kq²/d” şeklinde belirtilerek cevaplandırılabilir.