R yakınsaklık yarı çapı ve I yakınsaklık aralığı olmak üzere \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} serisi için R ve I aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Bu seri, \arctan(x) fonksiyonunun Taylor serisidir. Taylor serisi aşağıdaki gibi ifade edilir:
\arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}
Bu serinin yakınsama aralığını belirlemek için, genel olarak serinin yakınsama yarıçapını (R) ve yakınsama aralığını (I) bulmamız gerekir. \arctan(x) serisi, |x| < 1 için yakınsar ve bu nedenle yarıçapı 1’dir ve yakınsama aralığı [-1, 1] olacaktır.
Yakınsama yarıçapı (R):
$$R = 1$$
Yakınsama aralığı (I):
$$I = [-1, 1]$$
Sonuç:
Bu durumda, doğru cevap:
\boxed{R=1 \text{ ve } I=[-1,1]}