x^7 - 1 ≤ x^6 - 1 Eşitsizliğinin Çözümü
Bu verilen eşitsizliğin çözüm kümesini adım adım inceleyelim:
1. Eşitsizliği Düzenleyelim:
Verilen eşitsizlik:
Her iki taraftan -1’i çıkararak sadeleştirebiliriz:
2. Ortak Çarpan Parantezine Alalım:
Eşitsizliğin sol tarafını düzenleyelim:
[
x^7 - x^6 \leq 0
]
Ortak çarpan olan $x^6$’yı parantez dışına alalım:
[
x^6(x - 1) \leq 0
]
3. Kritik Noktaları Belirleyelim:
Bu eşitliğe göre çarpanlarımız:
- x^6
- (x - 1)
Bunları sıfıra eşitleyerek kritik noktaları buluyoruz:
- x^6 = 0 \implies x = 0
- x - 1 = 0 \implies x = 1
Kritik noktalarımız: x = 0 ve x = 1
4. İşaret Tablosu Yapımı:
Şimdi bu kritik noktalar aracılığıyla işaret tablosu hazırlayalım. Çarpanlara bakalım:
-
x^6: x^6 ifadesi, x hangi değer olursa olsun pozitif bir değerdir (veya sıfır olabilir). Çünkü herhangi bir sayının pozitif kuvveti negatife dönüşmez. Yani:
- x^6 > 0 (her zaman pozitif), sadece x = 0 olduğunda sıfırdır.
-
(x - 1): Bu ifade x = 1’de sıfır olur. x < 1 iken negatif, x > 1 iken pozitif olacaktır.
Tablodaki bölgelere göre işaret analizi yapalım:
| Bölgeler | x < 0 | 0 \leq x < 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|
| x^6 | + | 0 veya + | + |
| (x - 1) | - | - | + |
| Çarpım (x^6(x-1)) | - | 0 veya - | + |
Tabloya göre:
- x^6(x-1) \leq 0 olduğu aralık:
- Çarpımın negatif ve sıfır olduğu bölgeler: x \leq 1
5. Sonuç:
Çözüm kümesi:
Bu nedenle, doğru cevap D) x ≤ 1’dir.
Eğer kafanıza takılan bir nokta olursa, bana tekrar yazabilirsiniz! 
@Hilal12