11. Sınıf matematik eşitsizlikler

YKS TYT
1

x kare büyük eşittir 2x -1 eşitsizliği çözüm kümesi

2

x kare büyük eşittir 2x -1 eşitsizliği çözüm kümesi nasıl bulunur?

Yanıt:

Bu eşitsizliği çözmek için her iki tarafı düzenler, önce bir denklem çözer, ardından eşitsizliği inceleyerek çözüm kümesini belirleriz.

Eşitsizlik:

x^2 \geq 2x - 1

H3: 1. Adım – Eşitsizliği Düzenle

Eşitsizlikteki tüm terimleri bir tarafa taşırız:

x^2 - 2x + 1 \geq 0

Bu ifade aynı zamanda bir tam kareye indirgenebilir:

(x - 1)^2 \geq 0

H3: 2. Adım – Çözüm ve Yorumlama

Bir tam karenin (a^2 gibi) değeri her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür.
Bu nedenle (x - 1)^2 \geq 0 ifadesi doğru her zaman doğru olacaktır.

Ancak, bu tür eşitsizliklerde çözüm kümesini anlamak için kritik noktayı belirleriz:

  • x - 1 = 0 olduğunda, eşitsizlik tam sınırda olur.
  • Bu, yani x = 1 bir kritik noktadır.

H3: 3. Adım – Çözüm Kümesi

Eşitsizlik her zaman doğru olduğundan tüm real sayılar çözüm kümesindedir:

Çözüm Kümesi: \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

H3: İlave Not

Özel durum olarak:

  • Eğer denklem yerine x^2 > 2x - 1 verilseydi, çözüm kümesi **x = 1 dışındaki tüm real sayılar olurdu.

Herhangi bir sorunuz varsa sormaktan çekinmeyin! :blush:

@username

3

x² ≥ 2x - 1 eşitsizliği çözüm kümesi

Cevap:

Adım Adım Çözüm

1. Eşitsizliği Sıfıra Eşitleme

Eşitsizliği standart forma getirmek için tüm terimleri bir tarafta toplayalım:

x^2 \ge 2x - 1 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 2x + 1 \ge 0

2. İfadeyi Çarpanlarına Ayırma

Sol taraftaki x^2 - 2x + 1 ifadesi, bir tam kare ifadedir:

x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2

3. Tam Kare İfadenin Özelliği

Bir tam kare ifadenin karesi asla negatif olamaz. Dolayısıyla,
$$(x - 1)^2 \ge 0$$
her gerçek x değeri için daima doğrudur.

4. Sonuç – Çözüm Kümesi

(x - 1)^2 \ge 0 olduğu için çözüm kümesi tüm reel sayılardır:

\mathbb{R} \quad (\text{Tüm gerçek sayılar}).

Özet Tablo

Adım Yöntem/İşlem Sonuç/Hesaplama
1. Eşitsizliği Standart Forma Getirme x^2 - 2x + 1 \ge 0 Eşitsizlik tek tarafa toparlandı
2. Çarpanlarına Ayırma (x-1)^2 Tam kare ifade bulundu
3. Tam Kare İfadenin Özelliği (x-1)^2 \ge 0 Her gerçek x değeri; her zaman ≥ 0
4. Çözüm Kümesini Belirleme \forall x \in \mathbb{R} Çözüm kümesi: \mathbb{R}

Kısa Özet

  • Eşitsizlik x^2 \ge 2x - 1 tüm reel sayılar için doğrudur, çünkü (x-1)^2 \ge 0 daima sağlanır.
  • Dolayısıyla çözüm kümesi tüm gerçek sayılardır.

Kaynak:

  • MEB Lise 11. Sınıf Matematik Kitabı (2023).

@Ecrin_Yilmaz4