Eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyelim ve işlem sonuçlarını sade bir şekilde gösterelim.
6) x^2 - x - 42 \leq 0
Bu ifadeyi çözmek için önce kökleri bulalım:
x^2 - x - 42 = 0
Bu bir çarpanlarına ayırma problemi:
x^2 - x - 42 = (x - 7)(x + 6)
Adım 1: Çarpanlar x - 7 ve x + 6 olduğuna göre kökler:
$$x = 7 \quad \text{ve} \quad x = -6$$
Adım 2: Kritik noktalar: x = -6 ve x = 7. Çözüm kümelerini belirlemek için işaret tablosu yapalım:
(-\infty, -6), (-6, 7), (7, \infty)
İşaretler:
- (-\infty, -6) bölgesinde çarpanlar negatif: (x - 7)(x + 6) > 0
- (-6, 7) bölgesinde çarpanlar farklı işaretlerde: (x - 7)(x + 6) < 0
- (7, \infty) bölgesinde çarpanlar tekrar pozitif: (x - 7)(x + 6) > 0
Sonuç:
x \in [-6, 7] aralığında, bu eşitsizlik sağlanır.
7) -x^2 + 2x + 12 > 0
Yazımı biraz sadeleştirelim:
x^2 - 2x - 12 < 0 \quad \text{(katsayıları tersine çevirdik)}
Adım 1: Çarpanlara ayıralım:
x^2 - 2x - 12 = (x - 4)(x + 3)
Eşitsizlik çözümleri:
Kökler x = 4 ve x = -3.
Adım 2: Kritik noktalar: \{ -3, 4 \} işaret tablosu oluşturalım:
- (-\infty, -3) ve (4, \infty) pozitif işaretli
- (-3, 4) aralığında negatif işaretli (bu sağlanıyor)
Sonuç:
x \in (-3, 4)
Devam edelim mi? 
6) x² - x - 42 ≤ 0
- Denklemi (x - 7)(x + 6) = 0 şeklinde çarpanlara ayırın.
- Sıfıra eşit olduğu noktalar x = 7 ve x = -6 bulunur.
- Parabol yukarı doğru açıldığı için x - 7 ve x + 6 çarpımının 0 ve 0’dan küçük olduğu aralık:
- -6 ≤ x ≤ 7 (Burada “=0” noktalarını da içeriyoruz.)
7) -x² + 2x + 12 > 0
- Denklemi -(x² - 2x -12) > 0 olarak düzenleyin ⇒ (x² - 2x - 12) < 0.
- x² - 2x - 12 = 0 denkleminin kökleri:
- Kökler: x = 1 - √13 ve x = 1 + √13.
- Parabol yukarı doğru açıldığı için x² - 2x - 12 ifadesi kökleri arasında negatif olur:
- 1 - √13 < x < 1 + √13
8) (1 - x)(3 - x) < 0
- Sıfıra eşit olduğu noktalar: x = 1 ve x = 3.
- İşaret tablosu incelendiğinde çarpımın 0dan küçük olduğu aralık:
- 1 < x < 3
9) (x² + 4x)(1 - x) ≤ 0
- x² + 4x = x(x + 4) şeklinde ayrılır ⇒ İfade: x(x + 4)(1 - x).
- Kökler: x = 0, x = -4, x = 1.
- İşaret analizi sonucunda ifadenin 0 veya 0’dan küçük olduğu bölgeler:
- -4 ≤ x ≤ 0 ya da x ≥ 1
10) ((x - 1)³ · x²) / (x - 2) < 0
- Sıfır yapan veya tanımsız kılan noktalar: x = 1 (üstte küp var ama sıfırlıyor), x = 0 (x² sıfırlıyor), x = 2 (payda sıfırlıyor).
- x² her zaman pozitif veya 0’dır, esas işareti (x-1)³ ile (x - 2) arasındaki fark belirler.
- İşaret incelemesi:
- 1 < x < 2 aralığında pay pozitif, payda negatif ⇒ ifade negatif.
- Çözüm:
- 1 < x < 2
11) x · (x² + 1) · (x² - 9) < 0
- x² + 1 her zaman pozitiftir, dolayısıyla işareti x ve (x² - 9) belirler.
- (x² - 9) ⇒ (x - 3)(x + 3). Kökler: x = -3, x = 3 ve ayrıca x = 0.
- İşaret tablosu:
- x < -3 ⇒ çarpım < 0
- -3 < x < 0 ⇒ çarpım > 0 (uymaz)
- 0 < x < 3 ⇒ çarpım < 0
- x > 3 ⇒ çarpım > 0 (uymaz)
- Çözüm:
- x < -3 veya 0 < x < 3
12) Sistem: x² - 5x ≥ 0 ve x² - 8x + 12 < 0
- x² - 5x ≥ 0 ⇒ x(x-5) ≥ 0 ⇒ çözüm: x ≤ 0 veya x ≥ 5.
- x² - 8x + 12 < 0 ⇒ (x-2)(x-6) < 0 ⇒ çözüm: 2 < x < 6.
- İkisini aynı anda sağlayacak x değerleri:
- (x ≤ 0 veya x ≥ 5) ve (2 < x < 6)
- Kesişim: 5 ≤ x < 6
13) Sistem: (x - 5)/(x + 1) > 0 ve x² < 4
- (x - 5)/(x + 1) > 0 ⇒ aynı işaret koşulu:
- Pay ve payda beraber pozitif ⇒ x > 5 ve x > -1 ⇒ x > 5
- Pay ve payda beraber negatif ⇒ x < 5 ve x < -1 ⇒ x < -1
- Birleştirilmiş çözüm: x < -1 veya x > 5 (x = -1 kayıp, x = 5 payı sıfırlar)
- x² < 4 ⇒ -2 < x < 2
- Kesişim:
- (-2 < x < 2) ile (x < -1 veya x > 5)
- Sadece -2 < x < -1 uyumludur (çünkü x > 5, -2 < x < 2 ile kesişmez).
Çözümlerin Özeti
| No | Eşitsizlik | Çözüm |
|---|---|---|
| 6 | x² - x - 42 ≤ 0 | -6 ≤ x ≤ 7 |
| 7 | -x² + 2x + 12 > 0 | 1 - √13 < x < 1 + √13 |
| 8 | (1 - x)(3 - x) < 0 | 1 < x < 3 |
| 9 | (x² + 4x)(1 - x) ≤ 0 | -4 ≤ x ≤ 0 veya x ≥ 1 |
| 10 | ((x - 1)³·x²) / (x - 2) < 0 | 1 < x < 2 |
| 11 | x(x²+1)(x²-9) < 0 | x < -3 veya 0 < x < 3 |
| 12 | x² - 5x ≥ 0 ve x² - 8x + 12 < 0 (sistem) | 5 ≤ x < 6 |
| 13 | (x-5)/(x+1) > 0 ve x² < 4 (sistem) | -2 < x < -1 |
Kısaca: Her bir eşitsizliğin kökleri ve işaret tabloları incelenerek hangi aralıklarda negatif, pozitif, sıfıra eşit olduğu bulunur. Böylece yukarıdaki çözümleri ayrı ayrı elde ederiz.
Olur devam edelim
Devamını çözelim
10) \frac{(x-1)^3 \cdot x^2}{x-2} < 0
-
Sıfır ve tanımsız yapan noktaları belirleyelim:
- \mathbf{x = 1} (küp var ama sıfırlıyor), \mathbf{x = 0} (x² sıfırlıyor), ve \mathbf{x = 2} (payda sıfırlıyor, tanımsız yapar).
- Kritik noktalar: \mathbf{x=0}, \mathbf{x=1}, \mathbf{x=2}.
-
İşaret tablosu incelemesi:
- x^2 her zaman pozitif veya sıfırdır. Dolayısıyla işaret değişimini (x-1)^3 ve (x-2) belirler.
İşaret tablosunda bakacağımız aralıklar:
(-\infty, 0), (0, 1), (1, 2), (2, \infty)- (-\infty, 0) aralığında: \frac{(x-1)^3 \cdot x^2}{x-2} > 0.
- (0, 1) aralığında: \frac{(x-1)^3 \cdot x^2}{x-2} < 0.
- (1, 2) aralığında: \frac{(x-1)^3 \cdot x^2}{x-2} < 0.
- (2, \infty) aralığında: \frac{(x-1)^3 \cdot x^2}{x-2} > 0.
-
Sonuç:
- Negatif olan bölgeler: (0, 1) ve (1, 2).
Çözüm:
x \in (0, 1) \cup (1, 2)
11) x \cdot (x^2 + 1) \cdot (x^2 - 9) < 0
-
Teknot: (x^2 + 1) her zaman pozitiftir çünkü x^2 + 1 \geq 1.
Eşitsizlik işareti sadece (x) ve (x^2 - 9) parametrelerine bağlıdır. -
x^2 - 9 ifadesini çarpanlarına ayıralım:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Kritik noktalar: x = -3, x = 0, x = 3.
-
İşaret tablosu:
İşaret analizi için bakacağımız aralıklar:
(-\infty, -3), (-3, 0), (0, 3), (3, \infty)- x < -3: Negatif çarpanlar, sonuç negatif.
- -3 < x < 0: İşaretler pozitif, sonuç pozitif (uymaz).
- 0 < x < 3: Negatif çarpanlar, sonuç negatif.
- x > 3: İşaretler pozitif, sonuç pozitif (uymaz).
-
Sonuç:
Negatif işaretlere uygun çözüm kümeleri: x < -3 ve 0 < x < 3.
Çözüm:
x \in (-\infty, -3) \cup (0, 3)
12) Sistem: x^2 - 5x \geq 0 \quad \text{ve} \quad x^2 - 8x + 12 < 0
Adım 1: İlk eşitsizliği çözelim:
x^2 - 5x \geq 0 \quad \iff \quad x(x-5) \geq 0
Bu denklemin kökleri: x = 0 ve x = 5. İşaret tablosunu incelediğimizde çözüm:
x \leq 0 \quad \text{veya} \quad x \geq 5
Adım 2: İkinci eşitsizliği çözelim:
x^2 - 8x + 12 < 0 \quad \iff \quad (x-2)(x-6) < 0
Bu denklemin kökleri: x = 2 ve x = 6. İşaret tablosunda 2 < x < 6 aralığında eşitsizlik sağlanır.
Adım 3: İki çözümü birleştirelim:
- Birinci eşitsizlik: x \leq 0 veya x \geq 5.
- İkinci eşitsizlik: 2 < x < 6.
- Kesişimini aldığımızda çözüm: 5 \leq x < 6
Sonuç:
x \in [5, 6)
Sonraki adım: Var mı başka yardım edeceğim konu? @Sorumatik
Olur devam edelim @sorumatikbot
13) Sistem: \frac{x-5}{x+1} > 0 \quad \text{ve} \quad x^2 < 4
Adım 1: İlk eşitsizlik çözümü \frac{x-5}{x+1} > 0:
- Eşitsizlik sıfır yapacak veya tanımsız yapacak noktalar:
- Payı sıfırlayan: x = 5
- Paydayı sıfırlayan: x = -1
- İşaretler:
- \frac{x-5}{x+1} > 0 ⇒ $\text{Pozitif bölgeler: x > 5 \quad \text{ve} \quad x < -1}$
İlk eşitsizliğin çözümü:
x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)
Adım 2: İkinci eşitsizlik çözümü x^2 < 4:
- Bu ifadeyi çözmek için kökleri belirleyelim:
- x^2 = 4 \quad \implies \quad x = \pm 2
- x^2 < 4 olan bölgeler:
- (-2, 2)
Adım 3: İki eşitsizliğin kesişimini alın:
- \frac{x-5}{x+1} > 0 \quad \text{çözümü:} \quad x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)
- x^2 < 4 \quad \text{çözümü:} \quad x \in (-2, 2)
Kesişim:
- x \in (-2, 2) ve aynı zamanda x < -1
- Kesişim bölgesi: x \in (-2, -1)
Sonuç:
x \in (-2, -1)
Bütün eşitsizlikler çözüldü! Başka yardımcı olabileceğim bir şey var mı? @Sorumatik
Olur, devam edelim! Hangi kısımla ya da hangi soruyla ilgili ayrıntılı açıklama istersiniz? Daha fazla örnek veya çözümlerden birinin detayını isterseniz yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım.
Aşağıda, çok adımlı eşitsizlik çözüm yöntemini kısaca özetleyen bir tabloyu görebilirsiniz:
| Adım | Açıklama | Örnek |
|---|---|---|
| 1. Denklemi Düzenleme | Eşitsizliği veya ifadeyi parçalara ayırma, çarpanlara ayırma, ortak çarpan bulma. | (x² + 2x) → x(x + 2) |
| 2. Kökleri Belirleme | Payı ve paydayı (varsa) sıfır yapan noktaları bulma. | x = -2, x = 1 vb. |
| 3. Kritik Noktalar İşareti | Köklerin ve tanımsız noktaların etrafında ifadenin işaretinin nasıl değiştiğini kontrol etme. | x < -2, -2 < x < 1, x > 1 |
| 4. Aralık Seçme | Sorulan koşula (>, <, ≥, ≤) göre doğru aralığı belirleme. | -2 < x < 1 gibi |
| 5. Uygun Notasyon | Genellikle < veya > kullanarak aralığı yazma (İsteğe göre kapalı/açık aralık). | x > 3; x < -1 gibi |
Eğer belirli bir sorunuzu veya anlaşılmayan bir noktayı söylerseniz, o konuda daha kapsamlı bilgi verebilirim.