İşlemleri detaylı ve doğru bir şekilde çözmek için tüm adımları görerek ilerleyeceğiz. Verilen eşitsizlikler üzerinden sırasıyla çözümleri yapalım:
6. Sorunun Çözümü:
Eşitsizlik:
$$x^2 - x - 42 \leq 0$$
Adım 1: Faktörleme
Eşitsizliği sıfıra eşitleyerek çözüldüğü noktaları bulalım:
$$x^2 - x - 42 = 0$$
Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım:
$$x^2 - x - 42 = (x - 7)(x + 6)$$
Yani eşitsizlik:
$$(x - 7)(x + 6) \leq 0$$
Adım 2: Test Etme
Eşitsizliği sağlayan çözüm aralıklarını bulmak için kritik noktalar olan x = 7 ve x = -6 noktaları üzerinde işaret tablosu yapalım.
Kritik noktalar: x = -6 ve x = 7.
İşaret tablosu:
- (-\infty, -6) arasında çarpanlar aynı işaretli ve pozitif.
- (-6, 7) arasında çarpanlar zıt işaretli ve negatif.
- (7, \infty) arasında çarpanlar aynı işaretli ve pozitif.
Eşitsizlik \leq 0 olduğundan çözüm bölgesi:
$$[-6, 7]$$
Sonuç:
$$x \in [-6, 7]$$
7. Sorunun Çözümü:
Eşitsizlik:
$$-x^2 + 2x + 12 > 0$$
Adım 1: Eşitsizliği Düzenleme
Eşitsizliğin tüm terimlerini düzenleyelim:
$$-x^2 + 2x + 12 > 0$$
Bu ifadeyi daha net görebilmek için tüm terimleri çarpı -1 ile çevirip ters eşitsizlik yapalım:
$$x^2 - 2x - 12 < 0$$
Adım 2: Faktörleme
Eşitsizliği sıfıra eşitleyerek köklerini bulalım:
$$x^2 - 2x - 12 = (x - 4)(x + 3)$$
Eşitsizlik:
$$(x - 4)(x + 3) < 0$$
Adım 3: İşaret Tablosu
Kritik noktalar: x = -3 ve x = 4.
İşaret tablosu:
- (-\infty, -3) arasında çarpanlar aynı işaretli ve pozitif.
- (-3, 4) arasında çarpanlar zıt işaretli ve negatif.
- (4, \infty) arasında çarpanlar aynı işaretli ve pozitif.
Eşitsizlik < 0 olduğundan çözüm bölgesi:
$$(-3, 4)$$
Sonuç:
$$x \in (-3, 4)$$
Çözümleri sırayla yapabilirim. Kalan sorular için devam edeyim mi? 
@username
Daha anlasilir yaz
Tabii! Çözümleri daha açıklayıcı ve anlaşılır şekilde adım adım göstereceğim. İlk iki soruyu tekrar yazıyorum, ardından diğer sorulara geçebilirim.
6. Sorunun Çözümü
Eşitsizlik:
$$x^2 - x - 42 \leq 0$$
Adım 1: Faktörleme yapalım
Öncelikle verilen ifadeyi çarpanlarına ayırarak çözüm noktalarını belirlemek istiyoruz:
$$x^2 - x - 42 = 0$$
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz:
$$(x - 7)(x + 6)$$
Eşitsizliğimiz artık şu şekilde:
$$(x - 7)(x + 6) \leq 0$$
Adım 2: Kritik noktalar bulalım
Bu çarpanlardan dolayı kritik noktalar (kökler):
x = 7 ve x = -6
Adım 3: İşaret Tablosu oluşturma
Kritik noktalar arasında ve dışında çarpanların işaretlerini inceleriz:
- x \in (-\infty, -6) → Her iki çarpan pozitif, çarpım pozitif.
- x \in (-6, 7) → Çarpanlar zıt işaretli, çarpım negatif.
- x \in (7, \infty) → Her iki çarpan pozitif, çarpım pozitif.
Eşitsizlik \leq 0 olduğu için negatif veya sıfır olan bölgeleri seçiyoruz:
$$x \in [-6, 7]$$
7. Sorunun Çözümü
Eşitsizlik:
$$-x^2 + 2x + 12 > 0$$
Adım 1: Düzenleme
Eşitsizliği daha kolay çözmek için ifadeyi sadeleştirelim:
$$-x^2 + 2x + 12 > 0$$
Bu ifadeyi çarpı -1 ile çevirebiliriz (eşitsizlik ters döner):
$$x^2 - 2x - 12 < 0$$
Adım 2: Faktörleme yapalım
İfadeyi çarpanlarına ayırarak köklerini bulalım:
$$(x - 4)(x + 3)$$
Eşitsizlik:
$$(x - 4)(x + 3) < 0$$
Adım 3: Kritik noktalar bulalım
Bu çarpanlardan dolayı kritik noktalar (kökler):
x = -3 ve x = 4
Adım 4: İşaret Tablosu oluşturma
Kritik noktalar arasında ve dışında çarpanların işaretlerini inceleriz:
- x \in (-\infty, -3) → Çarpanlar pozitif, çarpım pozitif.
- x \in (-3, 4) → Çarpanlar zıt işaretli, çarpım negatif.
- x \in (4, \infty) → Çarpanlar pozitif, çarpım pozitif.
Eşitsizlik < 0 olduğu için negatif olan bölgeleri seçiyoruz:
$$x \in (-3, 4)$$
Kalan sorular için hemen devam edeyim mi?
@username
leyligulbeto tarafından gönderilen eşitsizliklerin çözüm kümesi nedir?
Cevap:
Aşağıda fotoğrafta yer alan her bir eşitsizliği (ve varsa sistemleri) tek tek inceleyerek çözüm kümelerini buluyoruz. Her madde için kritik noktaları belirleyip uygun aralıkları işaretliyoruz.
6) (x^2 - x - 42 \le 0)
- Faktöriyelleme:
[
x^2 - x - 42 = (x - 7)(x + 6).
] - Kökler: (x = 7) ve (x = -6).
- Parabol Açısı: (a = 1) (pozitif), dolayısıyla parabol yukarı açılıyor ve (\le 0) bölgesi köklerin arasında kalır.
Buna göre çözüm kümesi:
[
\boxed{-6 \le x \le 7}.
]
| Madde | Denklem/Eşitsizlik | Kökler/Crit. Nokt. | Çözüm Aralığı |
|---|---|---|---|
| 6 | (x^2 - x - 42 \le 0) | (-6,, 7) | ([-6,, 7]) |
7) (-y^2 + 2x + 2y > 0)
Bu ifade (x) ve (y)’yi birlikte içeren iki değişkenli bir eşitsizliktir. Genellikle koordinat düzleminde bölge olarak sunulur. Şu şekilde de yazılabilir:
[
2x > y^2 - 2y.
]
İsteğe göre ((y-1)^2) şeklinde tam kareye dönüştürüp bölgeyi daha net tarif edebiliriz:
[
y^2 - 2y = (y-1)^2 - 1
]
[
2x > (y-1)^2 - 1
\quad\Longrightarrow\quad
x > \frac{(y-1)^2 - 1}{2}.
]
Çözüm kümesi, koordinat düzleminde
[
x > \frac{(y-1)^2 - 1}{2}
]
eşitsizliğini sağlayan tüm ((x,y)) noktalarıdır. Yani parabolun sağında kalan bir bölgedir.
| Madde | Denklem/Eşitsizlik | Bölge Açıklaması |
|---|---|---|
| 7 | (-y^2 + 2x + 2y > 0) | (x > \tfrac{(y-1)^2 - 1}{2}) bölgesi (2B çözüm) |
8) ((1 - x)(3 - x) < 0)
- Kritik noktalar: ((1-x) = 0 \implies x = 1) ve ((3-x) = 0 \implies x = 3).
- Aralık incelemesi:
- (x < 1) için işaret: ((+)(+)) ya da ((-)(-)) kontrolü yapın; burada ((1 - x)) ve ((3 - x)) her ikisi de pozitif mi, negatif mi bakılır. Test noktası (x=0): ((1-0)(3-0)=3>0) (<0 değil).
- (1 < x < 3) için test noktası (x=2): ((1-2)(3-2) = (-1)(1) = -1 <0) (uygun).
- (x>3) için test noktası (x=4): ((1-4)(3-4)=( -3)(-1)= +3>0).
Dolayısıyla çözüm kümesi:
[
\boxed{1 < x < 3}.
]
| Madde | Denklem/Eşitsizlik | Kökler | Çözüm Aralığı |
|---|---|---|---|
| 8 | ((1 - x)(3 - x) < 0) | (x=1, x=3) | ((1,, 3)) |
9) ((x^2 + 4x)(1 - x) \le 0)
Önce (x^2 + 4x = x(x+4)) şeklinde ayıralım. Eşitsizliğimiz:
[
x(x+4)(1 - x)\le 0.
]
- Sıfır yapan noktalar: (x=0), (x=-4), (x=1).
- İşaret tablosu (sıralı kökler: (-4<0<1)):
- ((-∞, -4)): Test (x=-5): ((-)(-)(+)=+) (uymaz).
- ({-4}): çarpım (=0 \implies \le 0) dahil.
- ((-4, 0)): Test (x=-2): ((-)(+)(+)=-) (uyar).
- ({0}): çarpım (=0) (dahil).
- ((0,1)): Test (x=0.5): ((+)(+)(+)=+) (uymaz).
- ({1}): çarpım (=0) (dahil).
- ((1,,∞)): Test (x=2): ((+)(+)(-)=-) (uyar).
Dolayısıyla çözüm kümesi:
[
\boxed{[-4,,0] \cup [1,,\infty)}.
]
| Madde | Denklem/Eşitsizlik | Kökler | Çözüm Aralığı |
|---|---|---|---|
| 9 | ((x^2+4x)(1-x)\le 0) | (-4,,0,,1) | ([-4,,0]\cup[1,,\infty)) |
10) (\frac{(x-1)^3,x^2}{(x-2)} < 0)
- Kökler/İşaret noktaları (pay = 0): (x=1) (üçüncü dereceden sıfır ama sonuçta 0 yapar), (x=0) (ikinci dereceden). Bu noktalar ifadenin payını 0 yaparak (,<0) sağlamaz (sıfır ifadenin kendisini 0 yapar).
- Tanımsız nokta: (x=2) (payda 0).
- Payın işareti: ((x-1)^3,x^2). Burada (x^2 \ge 0) her yerde, ((x-1)^3) negatif ((x<1)) veya pozitif ((x>1)).
- Paydanın ((x-2)) işareti: negatif için (x<2), pozitif için (x>2).
Aralık testi:
- ((-∞,0)): test (x=-1).
- Pay: (((-1)-1)^3\times(-1)^2 = (-2)^3\times1= -8<0).
- Payda: ((-1)-2=-3<0).
- Toplam işaret: (\frac{neg}{neg}= +>0). Uygun değil.
- ((0,1)): test (x=0.5).
- Pay: ((0.5-1)^3\times (0.5)^2 =(-0.5)^3\times 0.25= -0.125\times0.25<0).
- Payda: (0.5-2=-1.5<0).
- Toplam: (neg/neg= +>0). Uygun değil.
- ((1,2)): test (x=1.5).
- Pay: ((1.5-1)^3\times(1.5)^2=0.5^3\times2.25= + >0).
- Payda: (1.5-2= -0.5<0).
- Toplam: (pos/neg= -<0). Uygun.
- ((2,\infty)): test (x=3).
- Pay: ((3-1)^3\times(3)^2= (2)^3\times9=72>0).
- Payda: (3-2=1>0).
- Toplam: (+,/,+= +>0). Uygun değil.
Bu noktaların kendilerine bakalım: (x=0,,1) payı sıfır yapar (\to) ifade (=0) ((<0) değil). (x=2) tanımsız. Dolayısıyla çözüm kümesi:
[
\boxed{(1,,2)}.
]
| Madde | Denklem/Eşitsizlik | Kritik Noktalar | Çözüm Aralığı |
|---|---|---|---|
| 10 | (\frac{(x-1)^3,x^2}{(x-2)} < 0) | (x=0,,1,,2) | ((1,,2)) |
11) (x,(x^2 + 1),(x^2 - 9) < 0)
Burada ((x^2+1) > 0) her (x) için. O yüzden işareti belirleyen kısım: (x(x^2-9) = x(x-3)(x+3)).
- Kritik noktalar: (x= -3,,0,,3).
- Aralık testi:
- ((-∞, -3)): test (x=-4). ((-)(-)(-)=-). Uyar.
- ((-3, 0)): test (x=-1). ((-)(-)(+)=+). Uymaz.
- ((0, 3)): test (x=2). ((+)(-)(+)=-). Uyar.
- ((3, ∞)): test (x=4). ((+)(+)(+)=+). Uymaz.
- Sıfır yapan noktalar dâhil değil (<0 istediğimiz için).
Dolayısıyla çözüm kümesi:
[
\boxed{(-∞, -3)\cup (0, 3)}.
]
| Madde | Denklem/Eşitsizlik | Kökler | Çözüm Aralığı |
|---|---|---|---|
| 11 | (x(x^2+1)(x^2-9)<0) | (-3,,0,,3) | ((-\infty,-3)\cup(0,3)) |
12) Sistem:
- (x^2 - 5x \ge 0)
- (x^2 - 8x + 12 \le 0)
(12.1) (x^2 - 5x \ge 0)
[
x(x-5)\ge 0.
]
Kritik noktalar: (x=0), (x=5). Parabol yukarı dönük, işaret tablosu:
- ((-∞,0)): test (x=-1): ((-)(-)=+) (uyar).
- ((0,5)): test (x=2): ((+)(-)=-) (uymaz).
- ((5, ∞)): test (x=6): ((+)(+)=+).
Dolayısıyla
[
(-∞,0]\cup [5, \infty).
]
(12.2) (x^2 - 8x + 12 \le 0)
[
x^2 -8x+12=(x-2)(x-6).
]
Kökler: (x=2, x=6). (\le0) olduğu aralık: ([2,6]) (parabol yine yukarı açıldığı için).
Sistem Çözümü = Kesişim
[
\Bigl((-\infty,0]\cup [5, \infty)\Bigr),\cap,[2,6]
= \Bigl((-\infty,0]\cap[2,6]\Bigr)\cup\Bigl([5,\infty)\cap[2,6]\Bigr).
]
- ((-\infty,0]\cap[2,6]) boştur (0 <2).
- ([5,\infty)\cap[2,6] = [5,6]).
Böylece çözüm kümesi:
[
\boxed{[5,,6]}.
]
| Madde | Eşitsizlikler | Çözüm Kümesi |
|---|---|---|
| 12 | (\begin{cases}x^2 - 5x \ge 0\ x^2 -8x+12\le0\end{cases}) | ([5,,6]) |
13) Sistem:
- (\displaystyle \frac{x-5}{x+1}>0)
- (x^2 < 4)
(13.1) (\frac{x-5}{x+1}>0)
Kritik/ tanımsız noktalar: (x=5) (payı sıfırlar), (x=-1) (paydayı sıfırlar, tanımsız). İşaret inceleyelim:
- ((-∞, -1)): test (x=-2): pay (-2-5=-7<0), payda (-2+1=-1<0); (\frac{-}{-}=+). Uyar.
- ((-1, 5)): test (x=0): pay (-5<0), payda (+1>0), (\frac{-}{+}=-). Uymaz.
- ((5, ∞)): test (x=6): pay (1>0), payda (7>0), (\frac{+}{+}=+). Uyar.
Ancak (x=-1) tanımsız, (x=5) ifadenin payını 0 yapar fakat “>0” istediğimiz için (x=5) dâhil olmaz. Bu yüzden çözüm:
[
(-∞, -1)\cup (5,,∞).
]
(13.2) (x^2<4)
[
-2<x<2.
]
Sistem Kesişimi
[
(-∞, -1)\cup (5,∞)\quad \cap \quad (-2,2)
]
- ((-∞, -1)\cap(-2,2) = (-2,-1)) (çünkü -2 < -1).
- ((5,∞)\cap(-2,2) = \varnothing).
Dolayısıyla çözüm kümesi:
[
\boxed{(-2,,-1)}.
]
| Madde | Eşitsizlikler | Kesişim |
|---|---|---|
| 13 | (\begin{cases}\frac{x-5}{x+1}>0 \ x^2<4 \end{cases}) | ((-2,, -1)) |
Özet Tablosu
| No | Eşitsizlik / Sistem | Çözüm Kümesi |
|---|---|---|
| 6 | (x^2 - x - 42 \le 0) | ([-6,, 7]) |
| 7 | (-y^2 + 2x + 2y > 0) (2 değişkenli) | (x>\tfrac{(y-1)^2 -1}{2}) (parabol sağ) |
| 8 | ((1 - x)(3 - x) < 0) | ((1,,3)) |
| 9 | ((x^2 + 4x)(1 - x) \le 0) | ([-4,,0]\cup[1,,\infty)) |
| 10 | (\frac{(x-1)^3 x^2}{x-2} < 0) | ((1,,2)) |
| 11 | (x(x^2+1)(x^2-9)<0) | ((-\infty,-3)\cup(0,3)) |
| 12 | (\begin{cases}x^2 - 5x \ge 0 \ x^2-8x+12 \le 0\end{cases}) | ([5,6]) |
| 13 | (\begin{cases}\frac{x-5}{x+1}>0 \ x^2 <4\end{cases}) | ((-2,,-1)) |
Kısaca Özet
• (6) için [-6, 7]
• (7) için (x > \frac{(y-1)^2 -1}{2}), yani tüm (x,y) düzleminde parabolun sağındaki bölge.
• (8) için (1, 3)
• (9) için [-4, 0] ∪ [1, ∞)
• (10) için (1, 2)
• (11) için (-∞, -3) ∪ (0, 3)
• (12) için sistemin çözümü [5, 6]
• (13) için sistemin çözümü (-2, -1)