x² - x - 42 <0 isleminin xozum kumesi @Sorumatik
x² - x - 42 < 0 işleminin çözüm kümesini nasıl buluruz?
Adım Adım Çözüm:
İlk olarak, verilen eşitsizlik x^2 - x - 42 < 0 şeklindedir. Bunu çözmek için aşağıdaki adımları izleyelim:
Adım 1: İlgili Denklemi Eşitliğe Çevirin
Önce, x^2 - x - 42 = 0 şeklinde çözüm için kökleri (sıfır noktalarını) bulmamız gerekiyor.
Bu bir ikinci dereceden denklemdir, ve çözümleri faktörleme, tamamlanmış kareler veya ikinci dereceden denklemleri çözmek için quadratic formul (kökler formülü) yöntemlerini kullanarak bulunabilir.
Denklemi Çarpanlarına Ayırma:
x^2 - x - 42 = 0 denklemini çarpanlarına ayırmak için, iki çarpanı bulmamız lazım. Çarpımları -42 ve toplamları -1 olan iki sayı şunlardır:
- -7 ve 6
Dolayısıyla, denklemi şöyle faktörlere ayırabiliriz:
$$(x - 7)(x + 6) = 0$$
Adım 2: Kökleri Bulma
Faktörlerden her biri sıfıra eşitlenir:
- x - 7 = 0 \implies x = 7
- x + 6 = 0 \implies x = -6
Böylece kökler x = -6 ve x = 7 olarak bulundu.
Adım 3: Eşitsizlik Çözümünde Köklerin Kullanımı
Verilen eşitsizlik x^2 - x - 42 < 0 olduğundan, parabolun sıfır olduğu aralık dışına değil, sıfırdan küçük olduğu aralığı arıyoruz.
Parabolun grafiği:
Bu çarpanlar x = -6 ve x = 7 noktalarında sıfırdır, yani bu iki nokta parabolun sıfır noktalarıdır. Parabolun şekli ikinci dereceli katsayının ($x^2$’in) işareti pozitif olduğundan açık bir U şeklidir.
- x = -6 ile x = 7 arasında parabol sıfırdan küçüktür.
- Dış bölgelerde (yani x < -6 ve x > 7) pozitif bir değere sahiptir.
Çözüm Kümesi:
Eşitsizlik x^2 - x - 42 < 0 olduğuna göre:
-6 < x < 7
Sonuç ve Çözüm Kümesi
Çözüm kümesi: $$x \in (-6, 7)$$
Bu aralıkta tüm değerler eşitsizliği sağlar. Eğer bu işlem hakkında başka sorularınız varsa, size yardımcı olmaktan mutluluk duyarım! 
x² - x - 42 < 0 işleminin çözüm kümesi nedir?
Cevap:
1. Tanım ve Amaç
Bu soruda, x^2 - x - 42 < 0 biçimindeki bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulacağız. Amaç, hangi x değerlerinin bu eşitsizliği sağladığını tespit etmektir.
2. Adım Adım Çözüm
Adım 1 – Denklem Formunu İnceleme
Eşitsizliğimiz:
x^2 - x - 42 < 0
Bu, ikinci dereceden bir ifadedir. Katsayılara bakalım:
- a = 1 (çünkü $x^2$’nin katsayısı 1’dir)
- b = -1
- c = -42
Adım 2 – Eşitsizliği Sıfıra Eşitleme
Önce x^2 - x - 42 = 0 denklemine ait kökleri bulalım. Bu, ileride eşitsizliğin hangi aralıklarda sağlandığını anlamamız için önemlidir.
Adım 3 – Kökleri Bulma
Denklemi faktörleyerek veya kare denklem formülü (x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}) ile kökler hesaplanabilir. Bu ifade kolayca çarpanlarına ayrılır:
x^2 - x - 42 = (x - 7)(x + 6)
Bu nedenle kökler:
- x = 7
- x = -6
Adım 4 – Parabolün Yönünü Belirleme
a = 1 olduğundan parabol yukarı doğru açıktır (a > 0). Parabolün x eksenini kestiği noktalar x = -6 ve $x = 7$’dir.
Adım 5 – Eşitsizliği Sağlayan Aralık
Üstü açık (kolları yukarı bakan) bir parabolda f(x) < 0 koşulu, köklerin arasında kalan bölge için geçerlidir. Dolayısıyla:
-6 < x < 7
Böylece çözüm kümesi: (-6, 7)
3. Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Denklem Tanıma | x^2 - x - 42 < 0 | a=1, b=-1, c=-42 |
| 2. Sıfıra Eşitleme | x^2 - x - 42 = 0 | — |
| 3. Kök Bulma | (x - 7)(x + 6) = 0 | x=7 ve x=-6 |
| 4. Parabol Yönü | a=1 \implies Parabol yukarı doğru | Kökler arası bölge < 0’dır |
| 5. Çözüm Küm. Belirleme | -6 < x < 7 | (-6,7) |
4. Sonuç ve Kısa Özet
- Eşitsizlik: x^2 - x - 42 < 0
- Kökler: x = -6 ve x = 7
- Yukarı açılan parabolde ifadenin negatif olduğu bölge: -6 < x < 7
- Sonuç: Eşitsizliği sağlayan tüm x değerleri (-6, 7) aralığındadır.
Kaynak:
- OpenStax, College Algebra (2021).