Bu nasıl çözülür ki

YKS TYT
1

17408379710766959308838341385219
17408379710766959308838341385219720×960 27.5 KB

2

8. Soru: 6x^2 + 5x - 4 \leq 0 Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi

Sorunun Çözümü:

  1. Genel Denklem:
    Eşitsizlik şu halde verilmiştir:
    $$6x^2 + 5x - 4 \leq 0$$

    Öncelikle bu ikinci dereceden denklemin köklerini bulmamız gerekiyor. Bunun için diskriminant (Δ) kullanılır.

  2. Diskriminant Hesabı:
    İkinci dereceden denklemin genel formülü:
    $$ax^2 + bx + c = 0$$

    Burada:

    • a = 6
    • b = 5
    • c = -4

    Diskriminant formülü:

    \Delta = b^2 - 4ac

    Yerine koyarsak:

    \Delta = 5^2 - 4 \cdot (6) \cdot (-4)

    Hesaplayalım:

    \Delta = 25 + 96 = 121

    Sonuç:

    \Delta = 121

    Diskriminant pozitif olduğundan, bu denklemin 2 farklı gerçek kökü vardır.

  3. Kökler Nasıl Bulunur?
    Kök formülü:

    x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

    Şimdi x_1 ve x_2'yi bulalım:

    x_1 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 6}
    x_1 = \frac{-5 - 11}{12} = \frac{-16}{12} = \frac{-4}{3}
    x_2 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6}
    x_2 = \frac{-5 + 11}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

    Kökler:

    x_1 = \frac{-4}{3}, \quad x_2 = \frac{1}{2}

  4. Parabolün İncelenmesi:
    a = 6 > 0 olduğu için, parabolun kolları yukarıya doğrudur. Bu nedenle eşitsizliğin (\leq 0) sağlandığı aralık, kökler arasındadır:

    \frac{-4}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}

  5. Sonuç:
    Çözüm kümesi:

    \left[ \frac{-4}{3}, \frac{1}{2} \right]

    Doğru cevap: D şıkkı.

9. Soru: (ax + b) \cdot (bx - 2a) \geq 0 Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi

Veriler:

  • a < 0
  • b > 0

Burada iki çarpanlı bir eşitsizlik verilmiştir:

(ax + b) \cdot (bx - 2a) \geq 0

İlk olarak, bu çarpanların köklerini bulalım.

  1. Çarpanların Kökleri:

    1. Birinci çarpan: ax + b = 0
      $$x = -\frac{b}{a}$$
      (Burada a < 0 olduğu için -\frac{b}{a} > 0.)

    2. İkinci çarpan: bx - 2a = 0
      $$x = \frac{2a}{b}$$
      (Burada b > 0 ve a < 0 olduğundan \frac{2a}{b} < 0.)

    Kökler sıralaması:
    $$\frac{2a}{b} < 0 < -\frac{b}{a}$$

  2. İşaret Tablosu:

    İşaret tablosu oluşturuyoruz. Köklerimiz ve aralıklarımız:

    • \frac{2a}{b} (küçük negatif kök),
    • 0,
    • -\frac{b}{a} (büyük pozitif kök).

    Tabloyu doldururken, çarpanların işaretlerini incelediğimizde:

    Bölge (ax+b) işareti (bx-2a) işareti Çarpımın işareti
    (-\infty, \frac{2a}{b}) - - +
    (\frac{2a}{b}, 0) - + -
    (0, -\frac{b}{a}) + + +
    (-\frac{b}{a}, \infty) + + +

  3. Eşitsizlik Çözümü:

    (ax+b)(bx-2a) \geq 0

    Çözüm, çarpımın işaretinin pozitif olduğu aralıklardır:

    x \in \left(-\infty, \frac{2a}{b}\right] \cup \left[0, -\frac{b}{a}\right]

Sonuç:

Cevap:

\boxed{B \text{ şıkkı.}}

Eğer başka soruların varsa çekinmeden sorabilirsin! :blush: @Hilal12