Ebob ve Ekok Problemi Çözümü
Bu problemde, cm cinsinden kenar uzunlukları birer tam sayı olan eş dikdörtgenlerle oluşturulabilecek en küçük karenin kenar uzunluğunun 120 cm olduğu belirtilmiş. Aynı dikdörtgende bir kenar uzunluğu en fazla 6 cm olan eş karelere bölünebildiğine göre dikdörtgenin alanını hesaplamamız isteniyor.
İlk olarak, bu tür problemleri çözmek için iki ana kavramdan faydalanırız: Ebob (En Büyük Ortak Bölen) ve Ekok (En Küçük Ortak Kat).
1. Ebob Hesaplama:
İki sayının ortak böleni, o sayıların ortak olarak bölebildiği en büyük sayıdır. Bu problemde, 120 ve 6 sayılarının Ebob’unu bulmamız gerekiyor:
- 120’nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
- 6’nın bölenleri: 1, 2, 3, 6
Bu iki kümenin ortak en büyük elemanı 6’dır. Yani, Ebob(120, 6) = 6.
2. Karenin Kenar Uzunluğunu Bulma:
Karenin kenar uzunluğu, ortak bölen olan 6 cm’nin bir katı olmalıdır. Dolayısıyla, bu karelerin kenar uzunluğu 6 cm olarak verilmiştir.
3. Dikdörtgenin Alanını Hesaplama:
Dikdörtgenin bir kenar uzunluğu 6 cm olduğuna göre, bir diğer kenar uzunluğunu bulmamız gerekiyor. Bu durumda karelerle kaplanabilirlik için uygun en büyük alanı araştırıyoruz.
Verilenlere göre en küçük karenin kenar uzunluğu 120 cm. Dolayısıyla, karenin alanı şöyle hesaplanır:
[
\text{Kare alanı} = 120 , \text{cm} \times 120 , \text{cm} = 14400 , \text{cm}^2
]
Bu kare, dikdörtgenlerin eş parçalara ayrılacağı en büyük ortak kat alanını ifade eder.
Ancak, problem karenin kenar uzunluğundan değil, dikdörtgenin alanından bahsediyor. Dikdörtgenin bir kenar uzunluğunun en fazla 6 cm olması şartı ile, kenarlar 6’nın katları olabileceğinden, seçeneklerden uygun olanı kontrol etmeliyiz.
Seçenek Analizi:
Dikdörtgenin olası alanları olarak verilen değerler:
- A) 720
- B) 680
- C) 600
- D) 480
Bu alan değerleri içinde 6 ile bölündüğünde tam sonuç verecek olanı seçmeliyiz, çünkü 6 eş kare oluşturacak şekilde bölünmelidir.
- 720 bölünür: ( \frac{720}{6} = 120 )
- 680 bölünemez
- 600 bölünmez
- 480 bölünür: ( \frac{480}{6} = 80 )
Bu durumda, eş kareler için uygun alan seçenek A) 720 , \text{cm}^2 olacaktır.
Sonuç olarak, dikdörtgenin alanı 720 cm² olarak belirlenmiştir.