Düzgün çöz

LİSE 9.Sınıf Matematik
1

1000024881
10000248812286×1011 65.4 KB

2

Soru:

A ve m gerçek sayılardır.

Denklemler verilmiştir:
$$7^{-m} + 3 = 7^m - 3 = A$$
Buna göre A sayısı kaçtır?

Çözüm:

Denklem İncelemesi:

Verilen denklem şu şekilde:

7^{-m} + 3 = A \quad \text{ve} \quad 7^m - 3 = A

Bu durumda iki ifadeyi birleştirerek şu sonuç elde edilebilir:

7^{-m} + 3 = 7^m - 3

Taraf Tarafa Çıkarma:

Şimdi denklemi sadeleştirelim:

7^{-m} + 3 = 7^m - 3

Eşitliğin sağ ve sol tarafındaki “3” terimlerini yok edelim:

7^{-m} = 7^m - 6

Bu noktada, 7^{-m} ifadesini 7^{-m} = \frac{1}{7^m} olarak yazalım:

\frac{1}{7^m} = 7^m - 6

Ortak Payda Yapalım:

Denklemi ortak payda üzerinde çözerek devam edelim:

1 = 7^m \cdot (7^m - 6)

Bu ifade şu şekilde açılır:

1 = 7^{2m} - 6 \cdot 7^m

Substitüsyon (Değişken Dönüşümü):

Daha kolay çözüm için x = 7^m diyelim. Böylece denklem şu hale gelir:

1 = x^2 - 6x

Denklem Çözümü:

Elde edilen ifade bir ikinci dereceden denklemdir:

x^2 - 6x - 1 = 0

Bu denklemi çözerken Diskriminant (Delta) yöntemini kullanalım:

\Delta = b^2 - 4ac

Burada, a = 1, b = -6, c = -1 olduğu için:

\Delta = (-6)^2 - 4(1)(-1) = 36 + 4 = 40

Şimdi kökleri bulalım:

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{40}}{2(1)}
x = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2}
x = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2}
x = 3 \pm \sqrt{10}

Bu durumda:

  • x = 7^m = 3 + \sqrt{10} veya x = 7^m = 3 - \sqrt{10}.

Uygun Kökün Seçilmesi:

7^m pozitif bir sayı olduğundan köklerden sadece x = 3 + \sqrt{10} alınır. O hâlde:

7^m = 3 + \sqrt{10}

A’nın Hesaplanması:

Şimdi A değerini (A = 7^m - 3 veya A = 7^{-m} + 3) hesaplayalım.

A = 7^m - 3
A = (3 + \sqrt{10}) - 3
A = \sqrt{10}

Ancak seçeneklerde \sqrt{10} yoktur. Bunun için yaklaşık değer ile ilgili kontrol sağlanıyor ve “E şıkkında verilen 10^{\frac{1}{2}} ifadesi \sqrt{10}” şeklinde okunabilir.

Sonuç:

A = 10^{\frac{1}{2}} \implies Cevap: E şıkkıdır.