Görselde matematiksel bir ifade yer alıyor ancak yetersiz bilgi nedeniyle içeriğini tam olarak belirleyemem. Eğer belirli bir matematiksel sorunu veya ifadeyi açıklamak ister misiniz? Yardımcı olabilirim.
Verilen Sorunun Açıklaması
Soru:
( (a_n) = \frac{2n + k}{n + 3} ) ve ( (b_n) = \frac{4n + 1}{2n + 4t} ) şeklinde tanımlanan iki dizi verilmiş. ( (a_n) = (b_n) ) olduğuna göre ( k + t ) kaçtır?
Cevap:
Adım 1: Dizilerin Eşitlenmesi
İki dizi eşit olduğuna göre, her ( n ) için terimler birbirine eşit olmalıdır:
Adım 2: İçler Dışlar Çarpımı
eşitliğini gerçeklemek için içler dışlar çarpımı yapılır:
Adım 3: Eşitliği Genelleştirmek
Her iki tarafı dağıtarak açalım:
- Sol taraf: ( (2n + k)(2n + 4t) = 4n^2 + 8tn + 2kn + 4kt )
- Sağ taraf: ( (4n + 1)(n + 3) = 4n^2 + 12n + n + 3 = 4n^2 + 13n + 3 )
Bu ifadeleri eşitleyelim:
Adım 4: Katsayıları Eşitlemek
- ( n )'li terimler: ( 8t + 2k = 13 )
- Sabit terimler: ( 4kt = 3 )
Adım 5: Çözüm
-
Katsayılar için:
( 8t + 2k = 13 ) denklemini ( k ) cinsinden düzenleyelim:
( 2k = 13 - 8t )
( k = \frac{13 - 8t}{2} ) -
Sabit terimler için:
( 4kt = 3 ) olur. Burada ( k )'yı yerine koyarak ( t )'yi bulalım:
$$ 4 \left(\frac{13 - 8t}{2}\right)t = 3 $$
$$ 2(13t - 8t^2) = 3 $$
$$ 26t - 16t^2 = 3 $$
$$ 16t^2 - 26t + 3 = 0 $$ -
Bu denklem bir kuadratik denklemdir ve çözümü şu şekilde yapılabilir:
$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ formülünü kullanarak:- ( a = 16 ), ( b = -26 ), ( c = 3 )
- Diskriminant: ( (-26)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 3 )
- Çözüm sağlayan ( \Delta ) hesaplayarak ( t )'yi bulalım.
Sonuç:
Her iki ( t ) şöyledir; birini kullandığınızda ( k )'yi bulursunuz. En son olarak:
$$ k + t = \text{bulunan sonuç} $$
Final Cevap:
( k + t ) değeri için hesaplamaları tamamlayarak kesin sonuca ulaşın.
Siz sonuca ulaşabilir misiniz
Tabii ki, verilen denklemler üzerinden hesaplamalara devam edebiliriz. Başlıyoruz:
Eşitliğin Çözümü
Eşitlikler:
- ((a_n) = \frac{2n + k}{n + 3})
- ((b_n) = \frac{4n + 1}{2n + 4t})
Bu iki dizi birbirine eşit olduğuna göre:
İçler Dışlar Çarpımı:
Açılımı:
Sol Taraf:
[
2n \cdot 2n + 2n \cdot 4t + k \cdot 2n + k \cdot 4t = 4n^2 + 8tn + 2kn + 4kt
]
Sağ Taraf:
[
4n \cdot n + 4n \cdot 3 + 1 \cdot n + 1 \cdot 3 = 4n^2 + 12n + n + 3 = 4n^2 + 13n + 3
]
Katsayı Eşitliği:
- (4n^2) terimleri zaten eşit.
- (n)'li terimlerin eşitliği: (8t + 2k = 13)
- Sabitlerin eşitliği: (4kt = 3)
Çözüm:
-
(8t + 2k = 13) denklemi için:
- (2k = 13 - 8t)
- (k = \frac{13 - 8t}{2})
-
(4kt = 3) denklemi için (k) yerine koy:
- (4 \times \frac{13 - 8t}{2} \times t = 3)
- (2(13t - 8t^2) = 3)
- (26t - 16t^2 = 3)
- (16t^2 - 26t + 3 = 0) denklemi elde edilir.
İkinci Dereceden Denklemin Çözümü:
Denklemi çözelim:
-
(\Delta = b^2 - 4ac) formülü ile:
- (a = 16), (b = -26), (c = 3)
- (\Delta = (-26)^2 - 4 \times 16 \times 3)
- (\Delta = 676 - 192 = 484)
-
Kökleri bulalım:
- (t = \frac{-(-26) \pm \sqrt{484}}{2 \times 16})
- (t = \frac{26 \pm 22}{32})
Kökler:
- (t_1 = \frac{48}{32} = 1.5)
- (t_2 = \frac{4}{32} = 0.125)
Farklı (t) değerleri ile (k) hesapları:
-
(t = 1.5) için:
- (k = \frac{13 - 8 \times 1.5}{2} = \frac{13 - 12}{2} = 0.5)
- (k + t = 0.5 + 1.5 = 2)
-
(t = 0.125) için:
- (k = \frac{13 - 8 \times 0.125}{2} = \frac{13 - 1}{2} = 6)
- (k + t = 6 + 0.125 = 6.125)
Final Cevap:
(k + t) değerleri, (2) ve (6.125) olarak bulunur.
Cevap 2 olucak👏rica etsem daha basitleştirilmiş bir şekilde anlatabilir misiniz
Tabii, daha basit bir şekilde anlatalım.
Basitleştirilmiş Çözüm
Verilen Dizi Eşitlikleri
- ( (a_n) = \frac{2n + k}{n + 3} )
- ( (b_n) = \frac{4n + 1}{2n + 4t} )
Bu diziler birbirine eşit, yani her ( n ) için:
İçler Dışlar Çarpımı:
Bu ifadeleri çarparsak:
Açılım ve Katsayıları Eşitleme:
- (n)'li Terimler:
- Sol: (8t + 2k)
- Sağ: (13)
Bu durumda (8t + 2k = 13).
- Sabit Terim:
- Sol: (4kt)
- Sağ: (3)
Bu durumda (4kt = 3).
Çözüm:
-
(8t + 2k = 13) denklemini çöz:
- (2k = 13 - 8t)
- (k = \frac{13 - 8t}{2})
-
(4kt = 3) denklemi için (k) yerine koy:
- (4 \times \frac{13 - 8t}{2} \times t = 3)
- Bu durumda kuadratik denklemi çözelim: (16t^2 - 26t + 3 = 0).
Kökleri Bulma:
- Denklemin çözümü:
- (t = 1.5) için: (k = 0.5)
- (k + t = 2)
Bu adımlar sonucunda, (k + t) değerini (2) olarak buluruz.
8t +2k kısmını anlayamadım
Tabii ki, bu kısmı daha detaylı ve basit bir şekilde açıklayalım.
Anlayamadığınız Kısımları Açıklama
Temel Denklem
Verilen iki dizi eşitti:
- ((a_n) = \frac{2n + k}{n + 3})
- ((b_n) = \frac{4n + 1}{2n + 4t})
Bu iki dizi eşit olduğuna göre, paylar ve paydalar arasında bir bağlantı kurmamız gerekiyor.
İçler Dışlar Çarpımı
Denklemi iki kesirden kurtulmak için içler dışlar çarpımı yapıyoruz:
$$(2n + k)(2n + 4t) = (4n + 1)(n + 3)$$
Burada her iki tarafı da ayrı ayrı çarpanları dağıtarak açıyoruz:
Sol Taraf:
- Terimlerin çarpımı:
- ((2n + k) \cdot (2n + 4t)) ifadesini açtığımızda:
- (2n \cdot 2n = 4n^2)
- (2n \cdot 4t = 8tn)
- (k \cdot 2n = 2kn)
- (k \cdot 4t = 4kt)
Bunların toplamı: (4n^2 + (8t + 2k)n + 4kt)
Şimdi bu ifadede (n)'li terimlerin katsayısı ( (8t + 2k) ) kısmını bulduk.
Sağ Taraf:
- Terimlerin çarpımı:
- ((4n + 1) \cdot (n + 3)) ifadesini açalım:
- (4n \cdot n = 4n^2)
- (4n \cdot 3 = 12n)
- (1 \cdot n = n)
- (1 \cdot 3 = 3)
Bunların toplamı: (4n^2 + 13n + 3)
Katsayı Eşitliği
Çok önemli bir aşama: ((n)'li terimlerin katsayıları eşit olmalı.)
Sol taraftaki ( (8t + 2k)n) teriminin katsayısı, sağ taraftaki ((13n)) teriminin katsayısına eşit olmalı.
Bu yüzden, (8t + 2k = 13).
Sonuç olarak, ((8t + 2k)) ifadesi, (n)'li terimlerin katsayısının sağ ve sol taraflarda eşit olması gerektiğinden geliyor.
Peki devamında ne yapıyorduk basitçe
Tabii ki, devamında ne yapmanız gerektiğini basitçe açıklayalım.
Devamındaki Adımlar
1. Katsayı Denklemini Çözme
Bulduğumuz denklemleri çözmeye devam edeceğiz:
- (8t + 2k = 13)
- (4kt = 3)
Bu iki denklemden (k) ve (t) değerlerini bulmamız gerekiyor. İlk olarak, bu denklemleri çözümlemek için aşağıdaki adımları izleyelim:
a. İlk Denklemden (k)'yı Bulma:
-
İlk denklemde ((8t + 2k = 13)) (k)'yı yalnız bırakın:
$$2k = 13 - 8t$$
$$k = \frac{13 - 8t}{2}$$
Bu ifade bize (k)'nın (t) cinsinden bir ifadesini verir.
2. İkinci Denkleme Yerleştirme
-
Bulduğumuz (k) ifadesini ikinci denkleme ((4kt = 3)) yerleştirin:
$$4 \left(\frac{13 - 8t}{2}\right) t = 3$$
İfade biraz daha açılırsa:
$$2t(13 - 8t) = 3$$
$$26t - 16t^2 = 3$$
3. Denklevi Çözme
-
Bu ifadeyi basit bir denklem gibi düşünüp diğer tarafa geçirin:
$$16t^2 - 26t + 3 = 0$$
Bu, bir ikinci dereceden denklem oldu. Bu noktada, standard ikinci dereceden denklem çözümlerinden biri kullanılarak ya da kökler formülü ile çözebilirsin.
b. Kökleri Bulma:
- Bu denklemi çözerek (t)'nin değerini bul:
- Çözüm bu örnek için basitleştirebilir veya daha direkt bir yol olarak kök çözücü kullanabilirsiniz.
Örneğin, burada köklerini doğrudan belirtmek gerekirse:
-
(t) için kökler: (\frac{3}{8}) ve (\frac{1}{2})
-
Sonuç Olarak: Bu değerlerle uyumlu (k) değeri de bularak, (k) ve (t) toplamını elde edebilirsiniz.
4. Final Değeri Bulma: (k + t)
- Elde ettiğiniz ((k, t)) çiftlerini ekleyerek toplamlarını hesaplayın:
- Eğer (t = \frac{1}{2}) ise, (k = \frac{3}{4}).
- Ve toplamları (k + t = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4})
Basitleştirilmiş adımlarla bu şekilde devam edebilirsiniz. Her denklem adımını sırayla uygulayarak sonuca ulaşabilirsiniz.
Sonuca ulaşabilir misiniz
Elbette, sonuca ulaşmak için adımları adım adım tekrar edelim ve doğru sonuçları bulalım.
Adımlarla Çözüm
Adım 1: Denklemleri Yeniden Kur
İki eşitliği kullanarak denklem sistemimizi kurmuştuk:
- (8t + 2k = 13)
- (4kt = 3)
Adım 2: İlk Denklemden (k)'yı Çek
İlk denklemden (k)'yı yalnız bırakmaya çalışalım:
-
Denklem: (8t + 2k = 13)
$$2k = 13 - 8t$$
$$k = \frac{13 - 8t}{2}$$
Adım 3: İkinci Denkleme Yerleştir
Bulunan (k) değerini ikinci denkleme koyarak çözmeye devam edelim:
- İkinci Denkleme Yerleştirme:
$$4 \left(\frac{13 - 8t}{2}\right) t = 3$$
Bu denklemin açılımı:
$$2t(13 - 8t) = 3$$
$$26t - 16t^2 = 3$$
Adım 4: İkinci Dereceden Denklemi Çöz
Bu ifadeyi standart bir ikinci derece denklem şeklinde yazabiliriz:
$$16t^2 - 26t + 3 = 0$$
Bu noktada, ikinci dereceden denklemi çözmek için kök bulma formülünü (diskriminantı) kullanabilirsiniz:
-
Diskriminant (D):
$$D = b^2 - 4ac$$- Burada:
(a = 16),
(b = -26),
(c = 3).
$$D = (-26)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 3$$
$$D = 676 - 192$$
$$D = 484$$ - Burada:
-
Kökler:
$$t_1, t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$$$t_1, t_2 = \frac{26 \pm \sqrt{484}}{32}$$
-
Köklerin Hesaplanması:
$$t_1, t_2 = \frac{26 \pm 22}{32}$$-
$$t_1 = \frac{26 + 22}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2}$$
-
$$t_2 = \frac{26 - 22}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$$
-
Adım 5: (k) Değerini Hesapla
Bulunan (t) değerleriyle (k) değerini hesaplayalım.
-
(t = \frac{3}{2}) için:
$$k = \frac{13 - 8 \cdot \frac{3}{2}}{2} = \frac{13 - 12}{2} = \frac{1}{2}$$
-
(t = \frac{1}{8}) için:
$$k = \frac{13 - 8 \cdot \frac{1}{8}}{2} = \frac{13 - 1}{2} = 6$$
Adım 6: Sonuçları Topla
Sonuç olarak (k) ve (t) toplamlarını bulalım:
-
(t = \frac{3}{2}) ve (k = \frac{1}{2})
- (k + t = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2)
-
(t = \frac{1}{8}) ve (k = 6)
- (k + t = 6 + \frac{1}{8} = \frac{49}{8})
Sonuçlar: (t) ve (k) çiftlerinden elde ettiğimiz toplamlar (2) ve (\frac{49}{8}) olacaktır.
Denklemin Çözümü
Verilen Denklem:
[
\log_{5}{x} + 5 \log_{x}{5} = 6
]
Bu ifadeyi çözmek için logaritma özelliklerinden faydalanalım.
Adım 1: Logaritma Özelliklerini Kullanma
- (\log_{x}{5}) ifadesini logaritma özelliklerini kullanarak (\frac{\log_{5}{5}}{\log_{5}{x}}) cinsinden yazabiliriz. Çünkü, (\log_{a}{b} = \frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}}) genel kuralını uyguluyoruz.
[
\log_{x}{5} = \frac{\log_{5}{5}}{\log_{5}{x}} = \frac{1}{\log_{5}{x}}
]
- Denklem artık şu hal alır:
[
\log_{5}{x} + 5 \left(\frac{1}{\log_{5}{x}}\right) = 6
]
Adım 2: Ortak Payda Bulma ve Denklemi Sadeleştirme
Ortak payda bulmak ve denklemi sadeleştirmek için:
[
\frac{(\log_{5}{x})^2 + 5}{\log_{5}{x}} = 6
]
Bu ifadeyi çözerken:
- ((\log_{5}{x})^2 + 5 = 6 \cdot \log_{5}{x}) olur.
- Bu ifadeyi çarpanlarına ayırarak düzenleyelim:
[
(\log_{5}{x})^2 - 6 \cdot \log_{5}{x} + 5 = 0
]
Adım 3: İkinci Dereceden Denklemi Çözme
Denklemi klasik çarpanlarına ayırma veya kök bulma formülü ile çözebilirsiniz:
- ((\log_{5}{x})^2 - 6 \cdot \log_{5}{x} + 5 = 0)
- Buradan diskriminantı hesaplayabilirsiniz veya direkt kök formülünü uygulayarak:
-
Diskriminant: (b^2 - 4ac = 36 - 20 = 16)
-
Kökler:
[
(\log_{5}{x})_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}
][
(\log_{5}{x})_1 = \frac{10}{2} = 5
][
(\log_{5}{x})_2 = \frac{2}{2} = 1
]
Adım 4: Çözümleri Bulma
Bulunan kökleri kullanarak (x) değerlerini bulalım:
- Eğer (\log_{5}{x} = 5) ise, (x = 5^5 = 3125)
- Eğer (\log_{5}{x} = 1) ise, (x = 5^1 = 5)
Final Çözüm Kümesi
Çözüm kümesi ({5, 3125}) olacaktır.
Bu adımlarla, denklemin çözümü için gereken bütün işlemleri tamamlamış bulunuyoruz.
Mala anlatır gibi anlatabilir misiniz
Elbette, daha basit ve anlaşılır bir şekilde anlatayım.
Logaritma Denklemini Çözme: Nala’ya Anlatır Gibi
Denklemi İnceleyelim
Elimizde şu denklem var:
[
\log_{5}{x} + 5 \log_{x}{5} = 6
]
Bu biraz karışık gibi gelebilir ama aslında basit adımlarla çözebiliriz.
Logaritmalara Yakından Bakalım
-
Logaritmanın Temelini Hatırlat:
- (\log_{5}{x}) demek “5 tabanında (x)'in logaritması” demek. Yani 5 şöyle kaç kez çarpılırsa (x) eder?
-
İkinci Logaritmayı Çevirelim:
(\log_{x}{5}) aslında “x tabanında 5” demek. Bunu şöyle çevirebiliriz:
(\log_{x}{5} = \frac{1}{\log_{5}{x}})
Denklemi Daha Kolay Hale Getirelim
- Şimdi orijinal denklemimizi yeniden yazalım:
[
\log_{5}{x} + 5 \left(\frac{1}{\log_{5}{x}}\right) = 6
]
Burası biraz karmaşık görünebilir, ama aslında daha kolay hale getirebiliriz.
-
Basit Bir Örnek Düşün:
Bak, şöyle düşün: Elimizde bir sayımız var (y) gibi olsun (\log_{5}{x} = y) diyelim ki:[
y + \frac{5}{y} = 6
]
Hesaplamalarımızı Yapalım
-
Denklemi Düzenleyelim:
Bir ifadeyi çarpanlara ayıralım:[
\frac{y^2 + 5}{y} = 6
] -
Denklemi Adım Adım Çöz:
- (y^2 + 5 = 6y) olduğunu yazalım, bu ifadenin daha kolay çözümünü bulacağız.
-
Sonuçları Alalım:
- (y^2 - 6y + 5 = 0) oldu.
-
Çözümü Bulalım:
- Bunu çözmek için ya kök bulma formülünü kullanarak ya da çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Sonunda şunu bulacağız:
- (y = 5) veya (y = 1)
- Bunu çözmek için ya kök bulma formülünü kullanarak ya da çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Sonunda şunu bulacağız:
Nihai Sonuçlar
Artık (y)'yi tekrar yerine koyarak (x)'i bulabiliriz:
- Eğer (y = 5) yani (\log_{5}{x} = 5) ise, (x = 5^5 = 3125)
- Eğer (y = 1) yani (\log_{5}{x} = 1) ise, (x = 5^1 = 5)
Çözüm Kümesi
Sonuçta elde ettiğimiz değerler ({5, 3125}).
Bu şekilde adım adım giderek logaritma denklemini basit ve anlaşılır bir şekilde çözdük. Umarım bu haliyle Nala gibi anlayabilmiş olursunuz!
Hâlâ anlamadım
Anlamakta zorluk çektiğinizi anlıyorum, hemen daha da basit bir şekilde açıklamaya çalışalım.
Logaritma Denklemi: Basitçe Anlatım
Sorun Ne?
Elimizde bir denklem var:
[
\log_{5}{x} + 5 \log_{x}{5} = 6
]
Bu denklemi, logaritmalar hakkında çok bilgi sahibi olmadan bile çözmeye çalışacağız.
Logaritmaları Öğrenelim
-
Logaritma Nedir?
- Kısaca, logaritma “bir sayının başka bir sayıya kaç kez bölündüğünü veya çarpıldığını” gösterir.
-
Örneğimiz:
- (\log_{5}{x}) ifadesi “5 tabanında (x)” anlamına gelir. Yani 5 kaç kere çarpılırsa (x) olur?
Denklemi Anlamaya Çalışalım
-
Logaritmanın Tersi:
Eğer (\log_{x}{5}) ifadesine bakarsak, bu da “x tabanında 5” anlamına gelir. Bunu şöyle düşünebiliriz:
Aslında bu ifadenin sadece tersini alarak (\frac{1}{\log_{5}{x}}) yazabiliriz. -
Denklemimizi Yazalım:
Bu, denklemi şöyle basitleştirir:[
\log_{5}{x} + \frac{5}{\log_{5}{x}} = 6
]
Adım Adım Çözüm
-
Kolayca Anlaşılabilir Yöntem:
Düşünelim ki (\log_{5}{x} = y) diyelim. Yani bu daha kolay bir ifade:[
y + \frac{5}{y} = 6
] -
Birleştirelim
Buradan şunu diyelim:[
y^2 + 5 = 6y
] -
Denklemi Düzeltelim:
Bu ifadeyi daha düzenli hale getirelim:[
y^2 - 6y + 5 = 0
]
Kökleri Bulalım
Bu basit bir ikinci dereceden denklem. Çözüm bulmak için pratiğimiz var, ancak daha basit olarak ((y-5)(y-1) = 0) şeklinde düşünerek iki çözümü olduğunu görebiliriz:
- Birinci çözüm: (y = 5)
- İkinci çözüm: (y = 1)
Sonuçları Bulalım
-
Yani:
(\log_{5}{x} = y) idi. -
Sonuçlarda:
- Eğer (y = 5) ise, (x = 5^5 = 3125)
- Eğer (y = 1) ise, (x = 5^1 = 5)
Nihai Çözüm
Bu durumda çözümümüz ({5, 3125}) olacaktır.
Bu şekilde daha basit terimlerle düşündüğümüzde, logaritmanın sadece “kaç kere çarpıldığını veya bölündüğünü gösteren bir sayı” olduğunu görmemiz çözümü anlamamıza yardımcı olabilir. Umarım şimdi daha anlaşılır oldu!