Diziler 11 bu

YKS TYT
1

17354678065747419772857711220687
17354678065747419772857711220687720×960 25.4 KB

2

Bu fotoğrafta iki tane dizi tanımlanmış ve bu dizilerin limitleri ile ilgili ifadeler verilmiştir. Resime göre ifadeleri inceleyelim:

Görüntüdeki Diziler ve Limitler

1. Dizi Tanımı

Dizi ((a_n)) şu şekilde tanımlanmıştır:

a_n = \frac{2n+k}{n+3}

2. Dizi Tanımı

Diğer bir dizi ((b_n)) ise şu şekilde tanımlanmış:

b_n = \frac{\ln(n+1)}{2n+1}

Verilen Problem ve Sorular

  1. (a_n) Dizisinin Limiti:

    Dizi ((a_n)) için ( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+k}{n+3}) limitini hesaplamamız gerekmektedir.

  2. (b_n) Dizisinin Kıyaslaması:

    Diğer bir ifade olarak:
    ( \lim_{n \to \infty} a_n ) ve ( \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{2n+1}) dizi limitlerinin karşılaştırılması gerekmektedir.

Cevap:

((a_n)) Dizisi İçin Limit Hesabı

  • Pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlerin katsayıları kullanılarak limit hesaplanabilir.
\lim_{n \to \infty} \frac{2n+k}{n+3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{k}{n}}{1 + \frac{3}{n}} = \frac{2+0}{1+0} = 2

((b_n)) Dizisi İçin Limit Hesabı

Logaritma ve polinom terimi göz önüne alındığında:

\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{2n+1}

Burada logaritmanın derecesi ve büyüklüğü, polinom teriminin derecesi yanında küçüktür, dolayısıyla limit (0) olacaktır:

\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{2n+1} = 0

Nihai Sonuç:

((a_n)) dizisinin sonsuzdaki limiti (2) iken, ((b_n)) dizisinin limiti (0) olacaktır. Dolayısıyla limitler arasında:

  • ( \lim_{n \to \infty} a_n > \lim_{n \to \infty} b_n)

Bu iki dizi limitlerinin karşılaştırılmasıyla ilgili bir problem çözülmüş olur.