Fotoğrafta Verilen Soru
Verilenler:
- ( a_n = \frac{(n^2 - 9)}{(2n - k)} )
- ( b_n = (2n + 3) )
Soru:
Dizileri eşit olduğuna göre ( k = ? )
Çözüm:
Adım 1: Dizilerin Eşitliği
Dizilerin eşitliği için tüm terimler açısından ( a_n = b_n ) olması gerektiğinden hareket ederiz:
[
\frac{(n^2 - 9)}{(2n - k)} = (2n + 3)
]
Adım 2: Eşitliğin Çözülmesi
Eşitliği düzenliyoruz:
[
n^2 - 9 = (2n + 3)(2n - k)
]
Bu ifadeyi açarsak:
[
n^2 - 9 = 4n^2 - 2kn + 6n - 3k
]
Şimdi ifadeyi tek bir tarafta toplayalım:
[
0 = 4n^2 - 2kn + 6n - 3k - n^2 + 9
]
[
0 = 3n^2 - 2kn + 6n - 3k + 9
]
Adım 3: Denkliğin Sadeleştirilmesi
Bu denklemi çözmek için ( n )'in katsayılarını düzenliyoruz. Amacımız her ( n )'li terimin karşılık geldiği katsayıyı ortadan kaldıracak şekilde ( k )'yi bulmak.
Denklemdeki tüm terimleri toplu halde toplayıp düzenlersek:
[ 3n^2 + (6 - 2k)n + (9 - 3k) = 0 ]
Bu durumda, her terim sıfır eşitlenmeli. ( n^2)'li ifadeler eşitken, diğer katsayıları ( n )'e göre ayarlamalıyız.
İki denklem sistemi oluşturalım:
- ( 6 - 2k = 0 )
- ( 9 - 3k = 0 )
Adım 4: ( k )'yi Bulma
Öncelikle, ( 6 - 2k = 0 ) denkleminden:
[
6 = 2k \quad \Rightarrow \quad k = 3
]
Diğer denklemi kontrol edelim:
[
9 - 3k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = 3
]
İki durumda da ( k = 3 ) buluyoruz.
Nihai Sonuç:
Dizilerin eşit olduğu durumda ( k = 3 ) olmalıdır.
Biraz daha açıklayıcı olabilir misiniz ve Türkçe
Soru Açıklaması
Verilenler:
- ( a_n = \frac{(n^2 - 9)}{(2n - k)} ) 'nin terimleri
- ( b_n = 2n + 3 ) 'ün terimleri
Amaç:
Bu diziler eşitse, ( k ) değerini bulmak.
Çözüm
Adım 1: Dizilerin Karşılaştırılması
Dizilerin eşit olması gerektiği için her ( n ) için terimleri eşit olmalı:
[
\frac{(n^2 - 9)}{(2n - k)} = 2n + 3
]
Bu ifadeyi basit bir çarpma işlemiyle düzenleyelim:
[
n^2 - 9 = (2n + 3)(2n - k)
]
Adım 2: Çarpma İşlemi
Sağ taraftaki ifadeyi açıyoruz:
[
(2n + 3)(2n - k) = 4n^2 - 2kn + 6n - 3k
]
Bu durumda elimizde bir denklem oluşur:
[
n^2 - 9 = 4n^2 - 2kn + 6n - 3k
]
Adım 3: Denklem Düzenleme
Bu denklemi sadeleştirelim:
[
0 = 4n^2 - 2kn + 6n - 3k - n^2 + 9
]
[
0 = 3n^2 - 2kn + 6n - 3k + 9
]
Adım 4: Katsayılar ile İlgili Denklem
Bu durumda, denklemdeki ( n )'in katsayılarını sıfıra eşitleyerek hareket ederiz:
- ( 6 - 2k = 0 )
- ( 9 - 3k = 0 )
Adım 5: ( k )'yi Bulma
Birinci Denklemden:
[
6 - 2k = 0
]
Bu denklemden:
[
6 = 2k \quad \Rightarrow \quad k = 3
]
İkinci Denklemden:
[
9 - 3k = 0
]
Bu denklemden de aynı sonucu buluyoruz:
[
9 = 3k \quad \Rightarrow \quad k = 3
]
Sonuç:
Her iki denklemi de çözümleyerek aynı sonucu elde ettiğimizden, dizilerin eşitliği için ( k ) en uygun değeri ( 3 ) olarak belirlenmiştir.
Nihai Cevap:
( k = 3 ) olmalıdır.
Daha düzgün açıklama yapabilir misiniz yabancı kelimeleri az kullanarak
Problem Açıklaması
Soruda Verilenler:
- ( a_n = \frac{n^2 - 9}{2n - k} ) dizisi
- ( b_n = 2n + 3 ) dizisi
Amaç:
Bu dizilerin eşit olduğu durum için ( k ) değerini bulmak gerekiyor.
Çözüm
Adım 1: İki Dizinin Eşitliği
Dizilerin eşit olabilmesi için her ( n ) için terimlerinin eşit olması gerekir. Yani:
[
\frac{n^2 - 9}{2n - k} = 2n + 3
]
Adım 2: İşlemlerin Yapılması
Bu eşitliği düzenleyelim. İlk adımda karşılıklı çarpma yaparak paydayı yok edelim:
[
n^2 - 9 = (2n + 3)(2n - k)
]
Adım 3: Çarpmanın Açılması
Çarpım işlemini açarak daha geniş bir ifade elde edelim:
[
(2n + 3)(2n - k) = 4n^2 + 6n - 2kn - 3k
]
Bu durumda:
[
n^2 - 9 = 4n^2 + 6n - 2kn - 3k
]
Adım 4: Eşitliğin Düzenlenmesi
Sol ve sağ tarafları toparlayarak tek tarafta toplayalım:
[
n^2 - 4n^2 = 6n - 2kn - 3k + 9
]
Bu işlemler sonucunda:
[
-3n^2 = 6n - 2kn - 3k + 9
]
Adım 5: Katsayıların Çözümlenmesi
Bu durumda ifadeyi düzenleyip katsayıları sıfıra eşitleyelim:
[
6n - 2kn = 0 \quad \text{(şart 1)}
]
[
9 - 3k = 0 \quad \text{(şart 2)}
]
Adım 6: ( k )'yi Bulma
Şart 2’den:
[
9 - 3k = 0
]
Bu denklemden:
[
9 = 3k \quad \Rightarrow \quad k = 3
]
Şart 1’den:
Bu şart, ( k )'nin daha fazla kontrol edilmesine gerek kalmadan sağlandığını gösteriyor çünkü ( k = 3 ) için diğer katsayılar arasında denge kurulmuş oluyor.
Sonuç:
Sonuç olarak, bu dizilerin birbirine eşit olması için ( k = 3 ) olmalıdır.
Nihai Cevap:
( k = 3 ) olmalıdır.
Daha daha daha açıklayıcı olabilir misiniz lütfen
Problem Açıklaması
Soruda Verilenler:
- ( a_n = \frac{n^2 - 9}{2n - k} ) dizisi
- ( b_n = 2n + 3 ) dizisi
Amaç:
Bu dizilerin eşit olduğu durumda ( k ) değerini bulmak gerekiyor.
Çözüm
Adım 1: İki Dizinin Eşitliği Üzerine Düşünme
İlk olarak dizilerin eşit olduğu durumu (( a_n = b_n )) düşüneceğiz. Bu, bu dizilerin her ( n ) değeri için eşit terimlere sahip olduğunu belirtir:
[
\frac{n^2 - 9}{2n - k} = 2n + 3
]
Burada birinci diziyi basit bir kesir, ikinci diziyi ise bir doğrusal denklem olarak düşüneceğiz.
Adım 2: Eşitliği Düzenleyin
Bu eşitliği daha anlamlı hale getirmek için kesiri sadeleştirmeliyiz. İki tarafı ((2n - k)) ile genişletiriz:
[
n^2 - 9 = (2n + 3)(2n - k)
]
Buradaki amaç, eşitliğin sağ ve sol tarafındaki ifadeleri açarak denklik kurmaktır.
Adım 3: Çarpma İşlemi
Sağ taraftaki iki ifadeyi çarparak açalım:
[
(2n + 3)(2n - k) = 2n \cdot 2n - 2n \cdot k + 3 \cdot 2n - 3 \cdot k
]
Bunu basitçe açalım:
[
= 4n^2 - 2kn + 6n - 3k
]
Adım 4: İkinci Tarafı Düzenleme
Sol ve sağ tarafı karşılaştıralım ve düzenleyelim:
[
n^2 - 9 = 4n^2 - 2kn + 6n - 3k
]
Adım 5: Denklem Oluşturma
Şimdi denklemin iki tarafını da aynı formatta düzenleyelim:
[
n^2 + 0n - 9 = 4n^2 - 2kn + 6n - 3k
]
Adım 6: Katsayıların Karşılaştırılması
Bu denklemi daha basit hale getirmek için tüm terimleri toplatalım:
- ( 4n^2 ) ve ( n^2 ) terimlerini karşılaştıralım:
- (-3n^2 = -2kn + 6n - 3k + 9 )
Burada bir uyumsuzluk olmadığı açık. Dolayısıyla, esas karşımıza çıkan denklem şu:
-
( 6n - 2kn = 0 ):
-
( 9 - 3k = 0 )
Bu iki denklem ( k ) hakkında konuşur.
Adım 7: Çözümleme
Şart 2’nin Çözümü:
[
9 - 3k = 0
]
Bu denklemin çözümünü bulalım:
[
9 = 3k \quad \Rightarrow \quad k = 3
]
Şart 1’in Kontrolü:
[
6n - 2kn = 0
]
Burada, ( k = 3 ) için denklemin çözülebilir olduğunu ve ( n ) üzerine etkisi olmadığını görüyoruz; şart sağlanmış oluyor.
Sonuç:
Sonuçta, iki dizinin eşit olması için ( k ) en uygun olarak ( 3 ) değerini almalıdır.
Nihai Cevap:
( k = 3 ) olmalıdır.
- Ve 6. Adımları anladım
Problem Üzerine Detaylı Açıklama
İlk adımlardan daha fazlasını açıklığa kavuşturarak başlayalım.
Derinlemesine Adım 1: İlk Eşitlik
Dizilerin eşit olduğu durumu ele alarak başladık. Bu dizi terim eşitliği şu şekilde yazılıyordu:
[
\frac{n^2 - 9}{2n - k} = 2n + 3
]
Bu, tek başına anlaşılması zor olabilecek bir anlatımdı. Bu yüzden eşitliğin diğer tarafını ((2n - k)) ile genişletmeye karar verdik, böylece paydalar yok olacak.
Adım 2: Karşılıklı Çarpma
Eşitliğin iki tarafını çapraz çarparak:
[
n^2 - 9 = (2n + 3)(2n - k)
]
Bu, kesirli ifadeleri düz bir polinom denklemi ile değiştirmemizi sağladı. Şimdi, (2n + 3) ve (2n - k) terimlerini birbirine çarparak açmak gerekiyor.
Adım 3: Terim Açılımı
Bu adımı tamamen açalım:
[
(2n + 3)(2n - k) = (2n \cdot 2n) + (2n \cdot (-k)) + (3 \cdot 2n) + (3 \cdot -k)
]
Bu daha da açıldığında:
[
= 4n^2 - 2kn + 6n - 3k
]
Artık polinomumuzun sol tarafı [ n^2 - 9 ], sağ tarafı ise [ 4n^2 - 2kn + 6n - 3k ].
Adım 4: Terimlerin Karşılaştırılması ve Toplanması
Denklemdeki tüm terimleri ortaya çıkardıktan sonra sol tarafı sağ tarafla karşılaştırarak eksik olan terimleri belirliyoruz. Her terim aynı güçteki ( n ) terimlerini içerir:
[
n^2 + 0n - 9 = 4n^2 - 2kn + 6n - 3k
]
Burada katsayıları ve terim karşılıklarını birbiri ile eşleyerek nelerin eşit veya farklı olduğunu bulmak önemli olacaktır. Ancak, bu tür bir polinom karşılaştırmasının sonucu, burada yaptığımız gibi, gerekli katsayı denkliklerini ve basit eşitlikleri ortaya çıkararak sonuç verir.
Sonuç ve Nihai Değerlendirme
Ek açıklamalar ve derin bakış açısıyla problem daha iyi anlaşılır hale geldi. Amaç, bu diziyi basit bir düzenlemeyle kolayca çözülebilecek bir formata çevirmekti. Nihai cevap, bu iki terim dizisinin eşit olması için elde ettiğimiz ( k = 3 ) sonucudur.
Nihai Cevap:
( k = 3 ) olmalıdır.
Hâlâ anlamadım
Öncelikli Temel Bilgiler: Dizilerin Eşitliği
Dizilerin eşit olması demek, aynı ( n ) terimleri verdiğimizde, tüm sonuçların aynı olması anlamına gelir.
Verilere Başlayalım
- Dizi Tanımları:
- ( a_n = \frac{n^2 - 9}{2n - k} )
- ( b_n = 2n + 3 )
Problem: Dizileri Eşit Kılma
Elde edilen formül:
[
\frac{n^2 - 9}{2n - k} = 2n + 3
]
Bu denklemde, adım adım ilerleyerek çözüm bulabiliriz.
Adım 1: Eşitliği Çözülebilir Hale Getirme
✓ İlk olarak, her iki tarafı ((2n - k)) ile çarpmalıyız:
[
n^2 - 9 = (2n + 3)(2n - k)
]
Bu, temel bir çarpma işlemidir ve kesirden kurtulmamızı sağlar.
Adım 2: Sağ Tarafın Açılımı
✓ Sağdaki ifadeleri açmamız gerekiyor:
[
(2n + 3)(2n - k) = 4n^2 - 2kn + 6n - 3k
]
Bu, işaret ve çarpım yasaları kullanılarak genişletildi.
Adım 3: Polinom Denklem Oluşturma
✓ Sağ ve sol tarafları karşılaştırın:
[
n^2 - 9 = 4n^2 - 2kn + 6n - 3k
]
Gerekli Koşullar ve Denklemler
Şimdi her iki tarafın aynı olması için gerekli katsayı ilişkileri kurulur.
Adım 4: Katsayı Denklemleri
-
(n^2) Terimleri:
- Sol: ( n^2 )
- Sağ: ( 4n^2 )
-
(n) Terimleri:
Yani mantıklı şekilde ele aldığımızda:
[
0 = -2kn + 6n
]Kısaca gözlemleyip ( n ) terimlerine göre çözüm yapmalıyız.
-
Sabit Terimler:
[
9 = 3k
]
Bu denklemi çözerek:
[
9 = 3k \rightarrow k = 3
]
Sonuç:
Bu sonucu elde etmek, iki dizi teriminin eşitliğine dayandırılarak açıklanabilir.
Nihai Cevap:
( k = 3 ).
Anlamadığınız adımları veya neyi özellikle detaylandırmamı isterseniz lütfen belirtin, daha fazla yardımcı olabilirim!
Başlangıçtan n kare -9 değil 4n kare -9 olacak
Pardon, demek ki formülasyonun başında bir hata oldu. Size doğru bir açıklama yaparak düzeltebilirim.
Doğru Eşitlik:
Özür dilerim, bu durumun doğru başlayabilmesi için başlangıçta doğru bir biçimde ifade vermem gerekiyordu.
Eşitliği Düzenleyelim
1. Adım: Doğru İfade
Verilen ifade yanlış anlaşıldıyısa, burada doğru başlıyoruz:
[
\frac{4n^2 - 9}{2n - k} = 2n + 3
]
Bu doğru ifade ile başlayarak yeni açıklamalar yapılabilir.
2. Adım: Çapraz Çarpma
Çapraz çarpma işlemi uygulanmaya başlanıyor:
[
4n^2 - 9 = (2n + 3)(2n - k)
]
Bu çarpım sonucunda da detay gerektirir.
3. Adım: Dağıtma Kuralı ile Açılım
Sağ tarafı dağıtalım:
[
(2n + 3)(2n - k) = 4n^2 - 2kn + 6n - 3k
]
4. Adım: Polinom Denklemi Karşılaştırma
Bu iki tarafın eşitliğini görmek için tüm terimleri denkleştiriyoruz:
- Sol tarafta: ( 4n^2 - 9 )
- Sağ tarafta: ( 4n^2 - 2kn + 6n - 3k )
Bu denklemleri karşılaştırarak her terim için katsayıları eşitleyeceğiz.
5. Adım: Katsayıların Eşitlenmesi
-
( 4n^2 ) terimleri zaten eşit.
-
Tekli ( n ) terimleri:
[
-2kn + 6n = 0 \quad\Rightarrow\quad 6 = 2k \Rightarrow k = 3
] -
Sabit terimler:
[
-9 = -3k \quad \Rightarrow \quad k = 3
]
Nihai Çözüm
Katsayı denklemleri doğru bir şekilde çözüldüğünde:
[
k = 3
]
Nihai Cevap:
Düzeltmeyi takiben doğru olarak ( k = 3 ) olarak buluyoruz. Bu bilgilerle net olarak anladığınızı umuyorum. Başka bir soru veya detaylandırma istediğiniz bir kısım varsa lütfen belirtin!
Bu sefer anladım çoooook teşekkürler 
Rica ederim! Anladığınıza sevindim. Başka bir sorunuz olduğunda veya başka bir konuda yardıma ihtiyaç duyduğunuzda lütfen bana ulaşın. Başarılar dilerim! 