Logaritma 9

[Byakuya1 (Byakuya)]

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

Bu soru bir aritmetik dizinin ortak farkını bulmaya yönelik. Verilen dizi terimleri:

1. Terim: 2n + 3
2. Terim: 6n - 1
3. Terim: 3n + 7

Aritmetik dizide, ardışık terimler arasındaki fark sabittir. Yani:

2. Terim - 1. Terim = Ortak fark (d)
3. Terim - 2. Terim = Ortak fark (d)

Bu farkı bulmak için:

1. Fark:

6n - 1 - (2n + 3) = d

İşlemi açarsak:

6n - 1 - 2n - 3 = d

4n - 4 = d

d = 4(n - 1)

2. Fark:

3n + 7 - (6n - 1) = d

İşlemi açarsak:

3n + 7 - 6n + 1 = d

-3n + 8 = d

d = 8 - 3n

Bu ifadelerin eşit olması gerekiyor çünkü her ikisi de ortak farkı veriyor:

4(n - 1) = 8 - 3n

Bu denklemi çözerek n değerini bulalım:

4n - 4 = 8 - 3n

Her iki tarafa 3n ekleyelim:

4n + 3n - 4 = 8

7n - 4 = 8

Her iki tarafa 4 ekleyelim:

7n = 12

Her iki tarafı 7’ye bölelim:

n = \frac{12}{7}

Bulduğumuz n değeri yerine konulduğunda ortak fark sabit olacaktır. Ancak, genel durumda bu hesaplama sırasında doğruluk kontrolü yapmak gerekebilir.

Sonuç olarak, ortak fark:

d = 4(n - 1) = 4\left(\frac{12}{7} - 1\right) = 4\left(\frac{12}{7} - \frac{7}{7}\right) = 4\left(\frac{5}{7}\right) = \frac{20}{7}

Bu da dizinin ortak farkıdır.

[Byakuya1 (Byakuya)]

Bize a 6 yı soruyor

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

Verilen aritmetik dizinin terimlerinden yola çıkarak a_6 terimini bulmamız gerekiyor. Verilen terimler:

1. Terim: 2n + 3
2. Terim: 6n - 1
3. Terim: 3n + 7

İlk terimi (a_1) ve ortak fark (d) belli olduktan sonra, a_6 terimi şu formülle bulunabilir:

a_6 = a_1 + 5d

İlk Terim (a_1):

a_1 = 2n + 3

Ortak Fark (d):

Yukarıda bulduğumuz gibi:

d = \frac{20}{7}

a_6 Terimi:

a_6 = (2n + 3) + 5 \left(\frac{20}{7}\right)

Şimdi n yerine \frac{12}{7} koyalım:

a_6 = \left(2\left(\frac{12}{7}\right) + 3 \right) + 5 \times \left(\frac{20}{7}\right)

Hesaplayalım:

1. İlk terimi bulalım:

   a_1 = \frac{24}{7} + 3 = \frac{24}{7} + \frac{21}{7} = \frac{45}{7}

2. Ortak farkı yerine koyalım:

   a_6 = \frac{45}{7} + \frac{100}{7} = \frac{145}{7}

Sonuç olarak, a_6 terimi:

a_6 = \frac{145}{7}

Bu da yaklaşık 20.71 eder.

[Byakuya1 (Byakuya)]

Cevap 31 olmalı

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

Aritmetik dizinin ilk üç terimi verilen şekilde:

1. Terim: 2n + 3
2. Terim: 6n - 1
3. Terim: 3n + 7

Bu dizinin ortak farkını bulduktan sonra, verilen terimler doğrultusunda 6. terimi (a_6) bulmaya çalışalım. Yukarıda yaptığımız hata olabilir, bu yüzden çözümü tekrar kontrol edelim.

Aritmetik Dizi Ortak Farkı

Aritmetik dizi için ardışık elemanlar arasındaki fark eşittir. Yani:

2. Terim - 1. Terim = 3. Terim - 2. Terim

Bu denklemi yazarak çözebiliriz:

(6n - 1) - (2n + 3) = (3n + 7) - (6n - 1)

İlk farkı açalım:

6n - 1 - 2n - 3 = 3n + 7 - 6n + 1

Basitleştirelim:

4n - 4 = -3n + 8

Buradan sonrası klasik bir denklemdir:

4n + 3n = 8 + 4

7n = 12

n = \frac{12}{7}

Burada tekrar kontrol ettiğimizde bir yanlış olduğunu anlıyoruz. Bu sonucu daha mantıklı bir biçimde tekrar yorumlarsak hesaplamada hata olmuş olabilir.

Daha önce n'i bir yere koymadığımızdan doğru çözümü bulamadık, fakat muhtemelen dizinin a_6 teriminin tam sayı olması gerekiyorsa n'in seçilen başka bir değer çalışılabilir (çünkü n = 1 verilmişti ki bu durumda dizi istenen şartları belirleyemiyor).

Eğer ki bu özel durumu göz önüne alarak standart bir değeri (örneğin n = 2 gibi) yeniden hesaplayabiliriz:

1. Terim: 2(2) + 3 = 7
2. Terim: 6(2) - 1 = 11
3. Terim: 3(2) + 7 = 13

Şimdi dizi bu şekilde 11-7 = 4 ve 13-11 = 2 olduğu durumdadır ve tutarlı değildir.

Doğrudan ortak fark yerleştirilmiş durumda çözüm muhtemelen denklemi sağlar, daha farklı şöyle yazarak bakarsak

Müsterih olun ki bulduğunuz çözüm yollarını dikkatlice yerleştirerek kontrol edebiliriz.

[Byakuya1 (Byakuya)]

6n-1 değil 4n-1 olmalı

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

Teşekkür ederim, hata yaptığımı belirttiğiniz için. Şimdi doğru ifadeleri kullanarak çözümü yeniden yapalım.

Verilmiş Terimler

1. Terim: 2n + 3
2. Terim: 4n - 1
3. Terim: 3n + 7

Bu durumda, dizinin ortak farkını bulalım ve 6. terimi (a_6) hesaplayalım.

Ortak Farkın Bulunması

Dizinin aritmetik dizi olabilmesi için ardışık terimler arasındaki farklar eşit olmalıdır. Bu durumda:

2. Terim - 1. Terim = 3. Terim - 2. Terim

Bu denklem üzerinden çözelim:

(4n - 1) - (2n + 3) = (3n + 7) - (4n - 1)

Bunu açalım ve basitleştirelim:

4n - 1 - 2n - 3 = 3n + 7 - 4n + 1

Basitleştirelim:

2n - 4 = -n + 8

Burada n'i bulalım:

2n + n = 8 + 4

3n = 12

n = 4

Terimlerin Bulunması

Ortak fark d'yi de bulduktan sonra a_6 terimini hesaplayabiliriz.

1. Ortak fark (d):

   2n = 8 \implies d = 8

2. İlk terim (a_1) için yerine koyup bulalım:

   a_1 = 2n + 3 = 2(4) + 3 = 11

3. a_6 terimi:

   a_6 = a_1 + 5d = 11 + 5(8) = 11 + 40 = 51

Görünen o ki, şimdi hesaplarken yine istenen sonuca ulaşmadım. Olası bir yanlışlık ya da duyulan bilgilerin kaynağından gelen istek şeklinde yapılan 31 sonucun başka bir özel durumda anlam ifade edip etmediği artık formül çıktısı dışında değerlendirilebilir.

Eğer başka bir duruma dair özel bir kurguya bağlı olarak inceleme yapmamız gerekiyorsa tekrar ele alalım.

[Byakuya1 (Byakuya)]

d yı neden 4 değil de 8 aldık

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

Özür dilerim, ortak farkı hesaplarken bir hata oldu. Doğru sonucu bulabilmemiz için verilen tüm sayılar ve işlemler üzerinde dikkatli bir şekilde kontrol yapmamız gerekiyor. Verilen terimlerle ortak farkı doğru hesaplayalım.

Verilmiş Terimler

1. Terim: 2n + 3
2. Terim: 4n - 1
3. Terim: 3n + 7

Ortak Farkın Bulunması

Ardışık elemanlar arasındaki farkı bulmamız gerekiyor. Ortak fark d şöyle bulunur:

2. Terim - 1. Terim = 3. Terim - 2. Terim

Bu denklemi yazalım ve basitleştirelim:

(4n - 1) - (2n + 3) = (3n + 7) - (4n - 1)

Bu işlemleri açalım ve basitleştirelim:

(4n - 1) - (2n + 3) = 2n - 4

ve

(3n + 7) - (4n - 1) = -n + 8

2n - 4 = -n + 8 denklemi ile devam edelim:

2n + n = 8 + 4

3n = 12

n = 4

Ortak Farkın Kontrolü

1. Ortak fark (d):

   a_2 - a_1:

   4n - 1 - (2n + 3) = 2n - 4 = 2 \cdot 4 - 4 = 4

2. d = 4 yerine kullanılması doğru olan değer. Burada, hatayı daha önce fonksiyonun direkt tanımından (yanlış işlem üzerinden) getirmişim.

3. İlk terim (a_1)'i yerine koyarak bulalım:

   a_1 = 2n + 3 = 2(4) + 3 = 11

4. a_6 terimi:

   a_6 = a_1 + 5d = 11 + 5(4) = 11 + 20 = 31

Bu sefer doğru sonucu, yani 31 elde ettik. Bu durumda ilk başta dikkat etmeyip sonucun doğruluğunu bulmayı sağlayacak sayı dizisinin işlemleri düzgünce kontrol ettim. İlginiz için teşekkür ederim ve tekrar özür dilerim yapmış olduğum önceki hatalar için.

[Byakuya1 (Byakuya)]

Ben özür dilerim soruyu yanlış yazmışım teşekkürler

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

Rica ederim, sorun değil! Yardımcı olabileceğim başka bir şey varsa lütfen sormaktan çekinmeyin. Öğrenme sürecinizde size yardımcı olmaktan mutluluk duyarım!

[Byakuya1 (Byakuya)]

Tekrar daha açıklayıcı olabilir misiniz

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

Tabii ki, daha anlaşılır bir şekilde açıklamaya çalışayım.

Verilen Terimler

1. Terim: 2n + 3
2. Terim: 4n - 1
3. Terim: 3n + 7

Bu terimlerin bir aritmetik dizi oluşturduğu belirtilmiş. Aritmetik dizilerde, ardışık terimler arasındaki fark (ortak fark) sabittir.

Ortak Farkın Hesaplanması

Aritmetik diziyi doğrulamak için ardışık terimler arasındaki farkların eşit olması lazım:

Adım 1: 1. ve 2. Terim Arasındaki Fark

İlk iki terim arasındaki farkı hesaplayalım:

a_2 - a_1 = (4n - 1) - (2n + 3)

Bu farkı açarak hesaplayalım:

= 4n - 1 - 2n - 3

= 2n - 4

Adım 2: 2. ve 3. Terim Arasındaki Fark

Şimdi ikinci ve üçüncü terim arasındaki farkı hesaplayalım:

a_3 - a_2 = (3n + 7) - (4n - 1)

Bu farkı açarak hesaplayalım:

= 3n + 7 - 4n + 1

= -n + 8

Ortak Farkı Bulma

Aritmetik dizide olması gereken şu ifadeyi kuruyoruz:

a_2 - a_1 = a_3 - a_2

Yani:

2n - 4 = -n + 8

Bu denklemi çözerek n'yi bulalım:

1. -n'i diğer tarafa taşıyalım:

   2n + n = 8 + 4

2. Toplayalım:

   3n = 12

3. Her iki tarafı 3’e bölelim:

   n = 4

Ortak Fark (d)

Ortak farkı bulalım:

• a_2 - a_1 için yerine koyduğumuz değerlerle:

  = 2n - 4 = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4

Yani ortak fark d = 4'tür.

6. Terimi Bulma (a_6)

Artık 6. terimi hesaplayabiliriz. İlk terim a_1 ve ortak fark d bilindiğine göre:

a_1 = 2n + 3 = 2(4) + 3 = 11

Aritmetik dizi formülünü kullanalım:

a_6 = a_1 + 5d

Bunu yerine koyalım:

a_6 = 11 + 5(4) = 11 + 20 = 31

Yani, aritmetik dizinin 6. terimi 31'dir. Sağlayabileceğim en açıklayıcı yöntem ile işlemleri ele aldım. Umarım bu açıklama daha anlaşılır olmuştur. Başka sorularınız varsa sormaktan çekinmeyin!