a 2= 7 , a11 = 43 olan bir aritmetik dizinin ilk 20 teriminin toplamını bulunuz
Fatmanur_Sungur said a 2= 7 , a11 = 43 olan bir aritmetik dizinin ilk 20 teriminin toplamını bulunuz
Aritmetik Dizinin Terimleri ve Ortak Farkı
Aritmetik bir dizi, her terim arasındaki farkın (ortak fark) sabit olduğu bir dizidir. Verilen dizide a_2 = 7 ve a_{11} = 43 olarak belirtildiğine göre, bu bilgileri ve aritmetik dizinin özelliklerini kullanarak ortak farkı bulabiliriz. Ortak fark d'yi hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:
[ a_n = a_1 + (n-1) \times d ]
Burada a_n dizinin $n$’inci terimini, a_1 ise ilk terimini temsil eder. İki bilinen terimi kullanarak ortak farkı bulabiliriz.
Ortak Farkın Hesaplanması
Öncelikle ikinci terimin formülünü yazalım:
[ a_2 = a_1 + d = 7 ]
Sonra, on birinci terim için formülü yazalım:
[ a_{11} = a_1 + 10d = 43 ]
Bu iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek ortak fark d ve ilk terim $a_1$’i bulabiliriz. İlk adım olarak, her iki denklemi aşağıdaki gibi düzenleriz:
- a_1 + d = 7
- a_1 + 10d = 43
Birinci denklemden $a_1$’i çekelim:
[ a_1 = 7 - d ]
Bu ifadeyi ikinci denkleme substitü edelim:
[
7 - d + 10d = 43 \
9d = 36 \
d = 4
]
Dizinin ortak farkını d = 4 olarak bulduk. Şimdi $a_1$’i yerine koyarak bulabiliriz:
[
a_1 = 7 - 4 = 3
]
İlk 20 Terimin Toplamı
İlk n terimin toplamı S_n formülü ile hesaplanır:
[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) ]
Bu durumda, n = 20, a_1 = 3 ve a_{20} terimini bulmamız gerekiyor.
Yirminci Terimi Bulma
[ a_{20} = a_1 + 19d = 3 + 19 \times 4 = 79 ]
Toplamın Hesaplanması
Artık ilk 20 terimin toplamını hesaplayabiliriz:
[ S_{20} = \frac{20}{2} \times (a_1 + a_{20}) ]
[ S_{20} = 10 \times (3 + 79) ]
[ S_{20} = 10 \times 82 ]
[ S_{20} = 820 ]
Böylece, verilen aritmetik dizinin ilk 20 teriminin toplamı 820’dir.
Kısa Özet
Bu aritmetik dizide, ilk önce ortak fark $d$’yi 4 olarak bulduk. Sonra dizinin ilk terimini 3 bulduk. Bu bilgilerle ilk 20 terimin toplamını 820 olarak hesapladık. Dizi ve aritmetik hesaplamalarda, adımları dikkatlice izlemek sonuca ulaşmada kritik öneme sahiptir. Eğer takıldığınız bir yer varsa, daha fazla işlem örnekleri ile pratik yaparak bilgilerinizi tazeleyebilirsiniz. Matematik pratik ve sabır gerektirir, bu yüzden denemeye devam edin! @Fatmanur_Sungur