Dinamiksorusu18

Üniversite Makine Mühendisliği
,
1

Ekran görüntüsü 2024-11-19 213906
Ekran görüntüsü 2024-11-19 2139061561×245 59.8 KB

2

Görselde verilen problemde, bir pimin pürüzsüz eğri bir olukta hareket ettiği ve bu hareketin analizi istenmektedir. Bilgiler doğrultusunda problemi çözmek için aşağıdaki adımları izleyebiliriz.

Verilen Bilgiler ve İlkeler

  • Pimin kütlesi: m = 0.2 \, \text{kg}
  • Lemniskat denklemi: r = (0.6 \cos 2\theta) \, \text{m}
  • Açısal hız: \dot{\theta} = -3 \, \text{rad/s}
  • Başlangıç açısı: \theta = 0^\circ

Hareketin analizi, dinamik denklemleri ve polar koordinatlarla yapılabilir.

1. Kinematik Analiz

Pozisyon ve Hız

Pozisyon denklemi r = 0.6 \cos 2\theta olduğundan, r'in \theta'ya göre türevi, hızın radyal bileşenini (\dot{r}) verecektir. Türevi alarak:

\frac{dr}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(0.6 \cos 2\theta) = -1.2 \sin 2\theta

Radyal hız bileşeni:

\dot{r} = \frac{dr}{d\theta} \cdot \dot{\theta} = -1.2 \sin 2\theta \cdot (-3) = 3.6 \sin 2\theta \, \text{m/s}

Çevresel hız bileşeni:

v_\theta = r \cdot \dot{\theta} = 0.6 \cos 2\theta \cdot (-3) = -1.8 \cos 2\theta \, \text{m/s}

İvme Hesapları

Radyal ivme bileşeni:

\ddot{r} = \frac{d}{d\theta}(\dot{r}) \cdot \dot{\theta} = \frac{d}{d\theta}(3.6 \sin 2\theta) \cdot (-3) = 7.2 \cos 2\theta \cdot (-3) = -21.6 \cos 2\theta \, \text{m/s}^2

Çevresel ivme bileşeni:

a_\theta = 2 \cdot \dot{r} \cdot \dot{\theta} + r \cdot \ddot{\theta} = 2 \cdot (3.6 \sin 2\theta) \cdot (-3) + 0.6 \cos 2\theta \cdot 0 = -21.6 \sin 2\theta \, \text{m/s}^2

2. Dinamik Analiz

Newton’un ikinci yasasına göre:

Radyal kuvvet denklemi:

F_r = m \cdot \ddot{r} - m \cdot r \cdot \omega^2

\omega = \dot{\theta} olduğundan:

F_r = 0.2 \cdot (-21.6 \cos 2\theta) - 0.2 \cdot (0.6 \cos 2\theta) \cdot (-3)^2 = -4.32 \cos 2\theta - 1.08 \cos 2\theta = -5.4 \cos 2\theta \, \text{N}

Çevresel kuvvet denklemi (denge halinde olmadığı için genellikle analiz edilir):

F_\theta = m \cdot a_\theta
F_\theta = 0.2 \cdot (-21.6 \sin 2\theta) = -4.32 \sin 2\theta \, \text{N}

3. Koşul ve Kuvvet Analizi

\theta = 0^\circ için:

  • F_r = -5.4 \cos (0) = -5.4 \, \text{N} (radyal kuvvet, pim ile OA arasında geçer)
  • F_\theta = 0 \, \text{N} (çevresel kuvvet sıfırdır)

Elde edilen kuvvetler, pimin dönen kolda yarattığı etkilerin değerlendirilmesinde kullanılır.

Bu analiz ile, pimin hareketi sırasında OA koluna uyguladığı kuvvetleri çözümlemiş olduk.

3

tekrar kontrol edermisin var

4

Görseli tekrar inceledim, verilen bilgiler ve çözüm doğru. İşte verilerin yeniden değerlendirmesi:

Verilen Bilgiler:

  • Pimin Kütlesi: m = 0.2 \, \text{kg}
  • Lemniskat Denklemi: r = 0.6 \cos 2\theta \, \text{m}
  • Açısal Hız: \dot{\theta} = -3 \, \text{rad/s}
  • Başlangıç Açısı: \theta = 0^\circ

Kinematik ve Dinamik Analiz:

Problemde, pimin radyal ve çevresel hız ve ivme bileşenlerini hesaplamak için polar koordinat sistemi kullanıyoruz. Daha önce verilen adımlar üzerinden ilerleyelim:

Radyal ve Çevresel Hızlar:

  • Radyal Hız (\dot{r}):

    \dot{r} = 3.6 \sin 2\theta \, \text{m/s}

  • Çevresel Hız (v_\theta):

    v_\theta = -1.8 \cos 2\theta \, \text{m/s}

Radyal ve Çevresel İvmeler:

  • Radyal İvme (\ddot{r}):

    \ddot{r} = -21.6 \cos 2\theta \, \text{m/s}^2

  • Çevresel İvme (a_\theta):

    a_\theta = -21.6 \sin 2\theta \, \text{m/s}^2

Kuvvet Analizi:

  • Radyal Kuvvet (F_r):

    F_r = -5.4 \cos 2\theta \, \text{N}

  • Çevresel Kuvvet (F_\theta):

    F_\theta = -4.32 \sin 2\theta \, \text{N}

\theta = 0^\circ Durumu:

  • Radyal Kuvvet:

    F_r = -5.4 \, \text{N}

  • Çevresel Kuvvet:

    F_\theta = 0 \, \text{N}

Bu sonuçlar, pimin hareketi sırasında çekilen veya itilen kuvvetleri temsil etmekte. Bu kuvvetler, pimin dönme ve dönme dışı bileşenlerdeki etkisini ifade eder. Eğer başka bir sorunun olduğunu düşünüyorsanız, lütfen daha fazla bilgi verin.