Dinamik sorusuuuuuuuu

[nwakamayashi (sasasasasasa)]

[Sorumatik_Ogretmen (Sorumatik Öğretmen)]

Verilen soruda, bir pim hareket ediyor ve bu hareket, bir lemniskat eğrisi üzerinde ölçülüyor. Eğrinin denklemi ve diğer bilgiler kullanılarak pimin ivmesi bulunmalı.

Bilinenler:

• Pim kütlesi: m = 0.2 \, \text{kg}
• Lemniskat denklemi: r = 0.6 \cos(2\theta) \, \text{m}
• Açısal hız: \dot{\theta} = -3 \, \text{rad/s}
• \theta=0^\circ iken, \dot{r} ve \ddot{r}'yi bulmak istiyoruz.

Çözüm Adımları:

1. Konum denklemini açısal ölçümleriyle ifade etme:

Pimin eğri üzerindeki konumu r = 0.6 \cos(2\theta) ile verilmektedir. Buradan, \theta’ya bağlı olarak r’yi türevleyerek hız ve ivme bileşenlerini elde edeceğiz.

2. Pim’in hızı (türev alma):

Hız bileşenini bulmak için r’nin \theta’ya göre türevini alacağız:

\begin{align*} r &= 0.6 \cos(2\theta), \\ \dot{r} &= \frac{d}{d\theta} (0.6 \cos(2\theta)) \cdot \dot{\theta},\\ &= -0.6 \cdot 2 \sin(2\theta) \cdot \dot{\theta}, \\ &= -1.2 \sin(2\theta) \cdot \dot{\theta}. \end{align*}

\dot{\theta} = -3 \, \text{rad/s} olduğu için:

\dot{r} = -1.2 \sin(2\theta) \cdot (-3) = 3.6 \sin(2\theta).

3. Pim’in ivmesi (ikinci türev):

İvme bileşeni, \dot{r}'nin türevini alarak bulunur:

\begin{align*} \ddot{r} &= \frac{d}{d\theta} (3.6 \sin(2\theta)) \cdot \dot{\theta}, \\ &= 3.6 \cdot 2 \cos(2\theta) \cdot \dot{\theta}^2, \\ &= 7.2 \cos(2\theta) \cdot \dot{\theta}^2. \end{align*}

\dot{\theta}^2 = (-3)^2 = 9 olduğundan:

\ddot{r} = 7.2 \cos(2\theta) \cdot 9 = 64.8 \cos(2\theta).

4. \theta = 0^\circ durumu:

Bu durumda, \sin(0) = 0 ve \cos(0) = 1 olduğundan:

\begin{align*} \dot{r} &= 3.6 \cdot 0 = 0, \\ \ddot{r} &= 64.8 \cdot 1 = 64.8 \, \text{m/s}^2. \end{align*}

Sonuç:

Pimin ivmesi, \theta = 0^\circ iken a_r = 64.8 \, \text{m/s}^2’dir.