0.2 kg’lık top, \theta radyan cinsinden olmak üzere, r = (0.6 \sin{\theta}) \, \text{m} ile tanımlı pürüzsüz, düşey dairesel tüpten geçirilerek fırlatılmaktadır. t saniye cinsinden olmak üzere \theta = (\pi t^2) \, \text{rad} olduğuna göre t = 0.5 \, \text{s} iken fırlatma aletinin topa uyguladığı F kuvvetinin büyüklüğünü belirleyiniz. a_r = -5.7089 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}, a_{\theta} = 11.0404 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}.
1. Problem Analizi
Soruda, dairesel bir kanal içinde hareket eden bir cisim için radyal ve açısal ivmeler verilmiş durumda. Amacımız, t = 0.5 s anında cisme uygulanan kuvveti belirlemektir.
2. Temel Formüller
- Radyal ivme: a_r = -\frac{v^2}{r} + \frac{d^2r}{dt^2}
- Açısal ivme: a_{\theta} = r\frac{d^2\theta}{dt^2} + 2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}
- \theta(t) = \pi t^2 olduğuna göre:
- \frac{d\theta}{dt} = 2\pi t
- \frac{d^2\theta}{dt^2} = 2\pi
3. Radyal ve Açısal İvmelerin Hesaplanması
- r = 0.6 \sin{\theta} = 0.6 \sin{(\pi t^2)}
Radyal ivme için:
-
v = \frac{dr}{dt} = 0.6 \cos{(\pi t^2)} \cdot \frac{d(\pi t^2)}{dt} = 1.2\pi t \cos{(\pi t^2)}
-
$\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{d}{dt}(1.2\pi t \cos{(\pi t^2)})$’yi hesaplayacağız. Burada türev alımı karmaşık olabileceğinden dikkatle yapılmalıdır:
- \frac{d^2r}{dt^2} = 1.2\pi \cos{(\pi t^2)} - (1.2\pi)^2 t^2 \sin{(\pi t^2)} olarak bulunur.
Açısal ivme için:
- İlk terim zaten verildi: a_{\theta} = 11.0404 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}
4. Kuvvetin Hesaplanması
Radyal ve açısal ivmeler cisim üzerine etki eden kuvvetlerin bileşenleridir.
-
Newton’un ikinci yasasına göre:
$$ F_{\text{radyal}} = m \cdot a_r $$
$$ F_{\text{açısal}} = m \cdot a_{\theta} $$
Toplam kuvvet:
$$ F = \sqrt{(F_{\text{radyal}})^2 + (F_{\text{açısal}})^2} $$
5. Sayısal Çözüm
Radyal Bileşen:
- a_r = -5.7089 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}
Açısal Bileşen:
- a_{\theta} = 11.0404 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}
Kuvvet Büyüklüğü Hesabı:
-
m = 0.2 \, \text{kg}
-
F_{\text{radyal}} = 0.2 \times (-5.7089) = -1.14178 \, \text{N}
-
F_{\text{açısal}} = 0.2 \times 11.0404 = 2.20808 \, \text{N}
F = \sqrt{(-1.14178)^2 + (2.20808)^2}
Bu hesaplamalar sonucunda F kuvvetinin büyüklüğünü belirleyebilirsiniz.
hesaplarmısın
Elbette, hesaplayalım.
1. Radyal Kuvvet Bileşeni:
Radyal ivme a_r = -5.7089 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}.
- F_{\text{radyal}} = m \cdot a_r = 0.2 \times (-5.7089) = -1.14178 \, \text{N}
2. Açısal Kuvvet Bileşeni:
Açısal ivme a_{\theta} = 11.0404 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}.
- F_{\text{açısal}} = m \cdot a_{\theta} = 0.2 \times 11.0404 = 2.20808 \, \text{N}
3. Toplam Kuvvet Büyüklüğü:
Bu iki kuvvetin bileşkesini bulmak için:
Hesaplayalım:
- (-1.14178)^2 = 1.3037
- (2.20808)^2 = 4.8755
- F = \sqrt{1.3037 + 4.8755} = \sqrt{6.1792} \approx 2.484 \, \text{N}
Topa uygulanan kuvvetin büyüklüğü yaklaşık olarak 2.484 N.