Çözüm için verilen ifadeleri kullanarak topun ivmesini hesaplayalım.
Adımlar
-
Verilen İfadeler:
- ( r = 0.6 \sin(\theta) )
- (\theta = \pi t^2)
-
( t = 0.5 ) saniye için (\theta) değerini hesapla:
[
\theta = \pi (0.5)^2 = \frac{\pi}{4}
] -
( r ) değerini hesapla:
[
r = 0.6 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0.6 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0.6 \times 0.7071 \approx 0.424 , \text{m}
] -
Konum ve Zaman İlişkisi:
Topun ivmesini bulmak için kutupsal koordinatlarda hız ve ivme ifadeleri kullanılır. İleri seviye dinamik derslerinde kutupsal ivme şöyle ifade edilir:
[
\vec{a} = \left(\frac{d^2r}{dt^2} - r \left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 \right)\hat{e}r + \left(r \frac{d^2\theta}{dt^2} + 2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\right)\hat{e}{\theta}
] -
(\dot{\theta}) ve (\ddot{\theta}) değerlerini bul:
[
\dot{\theta} = \frac{d}{dt}(\pi t^2) = 2\pi t
]
[
\dot{\theta}(t=0.5) = 2\pi \times 0.5 = \pi
][
\ddot{\theta} = \frac{d}{dt}(2\pi t) = 2\pi
] -
( \dot{r} ) ve (\ddot{r}) türevlerini hesapla:
[
\dot{r} = \frac{d}{dt}[0.6 \sin(\pi t^2)] = 0.6 \cos(\pi t^2) \cdot \frac{d}{dt}(\pi t^2) = 0.6 \cos(\pi t^2) \cdot 2\pi t
]
[
\dot{r}(t=0.5) = 0.6 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \pi = 0.6 \times 0.7071 \times \pi \approx 1.33, \text{m/s}
][
\ddot{r} = \frac{d}{dt}[0.6 \cos(\pi t^2) \cdot 2\pi t]
]
Türev almayı biraz genişletirsek:
[
\ddot{r} = 0.6 \left(-\sin(\pi t^2) \cdot (2\pi t) \cdot 2\pi t + \cos(\pi t^2) \cdot 2\pi\right)
][
\ddot{r}(t=0.5) \approx 0.6 \left(-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot (\pi) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot 2\pi\right)
][
\ddot{r}(t=0.5) \approx 0.6 \left(-0.7071 \cdot \pi + 0.7071 \cdot 2\pi\right) \approx 0.6 \times (0.7071 \pi) \approx 1.33 , \text{m/s}^2
] -
Toplam ivme:
Radyal İvme:
[
a_r = \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 \approx 1.33 - 0.424 \times \pi^2
]Açısal İvme:
[
a_\theta = r \ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} \approx 0.424 \times 2\pi + 2 \times 1.33 \times \pi
]
Radyal ve açısal ivmeyi topladığınızda toplam ivmeyi elde edersiniz. İfade sayısal işlemle tamamlanabilir ve kabaca ivmenin sonucu bulunabilir.
birimleri okuyamıyorum
Kusura bakma, görseli net okuyamadım. Soruda yer alan birimler ya da tekrar açıklaman gereken bir kısım varsa bana iletebilirsin, yardımcı olmaya çalışırım.
toplam ivmeyi istiyorum
Toplam ivmeyi bulmak için radyal ve açısal bileşenleri birleştireceğiz. Daha önceki adımları kullanarak sonuca ulaşabiliriz.
Toplam İvme Hesabı
-
Radyal İvme ((a_r)):
[
a_r = \ddot{r} - r \dot{\theta}^2
]
Değerleri yerine koyarak hesaplayabilirsiniz:
[
a_r \approx 1.33 - 0.424 \times \pi^2
] -
Açısal İvme ((a_\theta)):
[
a_\theta = r \ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}
]
Değerleri yerine koyarak hesaplayabilirsiniz:
[
a_\theta \approx 0.424 \times 2\pi + 2 \times 1.33 \times \pi
] -
Toplam İvme ((a)):
Toplam ivmeyi bulmak için radyal ve açısal ivmeleri vektörel olarak birleştireceğiz:
[
a = \sqrt{a_r^2 + a_\theta^2}
]
Bu hesaplama ile toplam ivmeyi elde edebilirsiniz. Tekrar bir sayı veremediğim için, hesaplayarak sonuca ulaşabilirsiniz. Eğer başka bir konu varsa bana iletebilirsiniz.