Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafında köşelere de ağaç gelmesi şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir Bu iş için en az kaç ağaç gereklidir
Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafında köşelere de ağaç gelmesi şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Bu iş için en az kaç ağaç gereklidir?
Cevap:
Bu problemde, bahçenin etrafına belirli bir aralıkla ağaç dikmek istiyoruz. Bu aralık, bahçenin çevresini en küçük ortak bölenlerle bölen uzunluk gibi düşünülerek hesaplanabilir.
Çözüm Adımları:
-
Bahçenin Çevresini Hesapla:
Dikdörtgenin çevresi, iki kısa kenar ve iki uzun kenarın toplamıdır. Eğer kısa kenar a metre ve uzun kenar b metre ise, çevre şu şekilde hesaplanır:Çevre = 2a + 2b -
En Büyük Ortak Böleni (EBOB) Bul:
Amaç, bu çevreyi en küçük tam ağaç aralığıyla eşit parçalara bölmektir. Bunun için, a ve b kenar uzunluklarının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmalıyız. Bu uzunluk, ağaçlar arasındaki mesafeyi verecektir. -
Ağaç Sayısını Hesapla:
Dikdörtgenin çevresi, EBOB ile bölündüğünde elde edilen sonuç, ağaçlar arasındaki mesafeye göre gerekli toplam ağaç sayısını verecektir. Ancak köşelerde de ağaç olacağı için şu formül kullanılır:\text{Ağaç Sayısı} = \frac{Çevre}{EBOB} + 1
Örnek:
Dikdörtgenin kısa kenarı 12 metre ve uzun kenarı 18 metre ise:
-
Çevreyi Hesapla:
Çevre = 2 \times 12 + 2 \times 18 = 24 + 36 = 60 -
EBOB’u Bul:
12 ve 18 sayılarının EBOB’u 6’dır. -
Ağaç Sayısını Hesapla:
\text{Ağaç Sayısı} = \frac{60}{6} + 1 = 10 + 1 = 11
Bu nedenle, eşit aralıklarla ve köşelere de ağaç gelmesi şartıyla en az 11 ağaç gereklidir.
Ebob’laı 9 olan farklı iki sayının toplamı en az kaçtır
EBOB’ları 9 olan farklı iki sayının toplamı en az kaçtır?
Cevap:
EBOB’ları 9 olan iki sayıyı bulmak için, sayıları 9’un katları olarak düşünmeliyiz. EBOB’un 9 olması demek, her iki sayının da 9 ile bölünebildiği anlamına gelir ve 9 sayısı bu sayıların en büyük ortak bölenidir.
Çözüm Adımları:
-
Sayılara Genel Çözüm Bul:
Sayıları 9’un katları olarak kabul edelim. Yani, sayılar 9k ve 9m şeklinde olacak. Burada k ve m aralarında asal olmalıdır çünkü EBOB sadece 9 olmalıdır, başka bir ortak bölenleri olmamalıdır. -
En Küçük Toplamı Bul:
Aralarında asal olan en küçük iki pozitif tam sayı 1 ve 2’dir. Dolayısıyla, k = 1 ve m = 2 seçebiliriz.\text{Birinci sayı} = 9 \times 1 = 9\text{İkinci sayı} = 9 \times 2 = 18 -
Toplamı Hesapla:
İki sayının toplamı:9 + 18 = 27
Bu nedenle, EBOB’ları 9 olan farklı iki sayının toplamı en az 27 olabilir.
144 m 27 m
Yukarıda verilen dikdörtgen şeklindeki boş Bir inşaat sahası eş karesel bölgelere ayrılacaktır her bölgenin köşesinde birer elektrik direği dikilcegine göre bu iş için en az. Kaç elektrik direği gerekir
144 m 27 m - Dikdörtgen şeklindeki boş bir inşaat sahası eş karesel bölgelere ayrılacaktır. Her bölgenin köşesinde birer elektrik direği dikileceğine göre, bu iş için en az kaç elektrik direği gerekir?
Cevap:
Bu problem, dikdörtgeni en büyük karelerle doldurmak için alanın en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmayı içerir. Bu şekilde, mümkün olan en az sayıda elektrik direği kullanılacaktır.
Çözüm Adımları:
-
Kenar Uzunluklarını Belirle:
Dikdörtgenin kenar uzunlukları 144 m ve 27 m olarak verilmiştir. -
EBOB’u Bul:
144 ve 27 sayılarının en büyük ortak bölenini bulmamız gerekiyor.- 144’ün asal çarpanları: 2^4 \times 3^2
- 27’nin asal çarpanları: 3^3
Ortak olan en büyük çarpan: 3^2 = 9
-
Karesel Bölgelerin Kenar Uzunluğu:
EBOB olan 9 m, her bir karenin kenar uzunluğu olacaktır. -
Kaç Kare İçerdiğini Hesapla:
- \frac{144}{9} = 16 (uzun kenar boyunca)
- \frac{27}{9} = 3 (kısa kenar boyunca)
-
Elektrik Direği Sayısını Hesapla:
Direkler, bu karelerin köşelerinde yer alır. Kesişen noktalarda sadece bir direk olduğundan, direk sayısını şu şekilde hesaplarız:- Toplam direk sayısı: (16+1) \times (3+1) = 17 \times 4 = 68
Bu nedenle, her bölgenin köşesine gelecek şekilde en az 68 elektrik direği gerekir.
Uzunlukları birbirine eşit olan yeşil ve turuncu renkli bir çubuğun uzunluğu 10 santimetreden fazladır parçaların uzunlukları santimetre cinsinden tam sayı olacak şekilde yeşil renkli Çubuk 8 eşit turuncu renk Çubuk 10 eşit parçaya ayrılmıştır
Buna göre yeşil ve turuncu renkli çubukların başlangıçtaki uzunluklarının toplamı en az kaç santimetre
Uzunlukları birbirine eşit olan yeşil ve turuncu renkli çubuğun uzunluğu 10 santimetreden fazladır. Parçaların uzunlukları santimetre cinsinden tam sayı olacak şekilde yeşil renkli çubuk 8 eşit, turuncu renkli çubuk 10 eşit parçaya ayrılmıştır. Buna göre yeşil ve turuncu renkli çubukların başlangıçtaki uzunluklarının toplamı en az kaç santimetre?
Cevap:
Problemde, iki çubuğun eşit uzunlukta olduğunu ve bu uzunluğun bazı koşulları karşıladığını biliyoruz. Ayrıca, her bir parça tam sayı olarak ifade edilmelidir.
Çözüm Adımları:
-
Yeşil ve Turuncu Çubukların Uzunlukları:
- Yeşil çubuk 8 eşit parçaya bölünmüş, her bir parçanın uzunluğu x cm.
- Turuncu çubuk 10 eşit parçaya bölünmüş, her bir parçanın uzunluğu y cm.
-
Eşit Uzunluk Denklemi:
- Yeşil çubuğun toplam uzunluğu: 8x
- Turuncu çubuğun toplam uzunluğu: 10y
- İki çubuk eşit uzunlukta olduğuna göre: 8x = 10y
-
Asgari Ortak Çözüm ve Koşullar:
- Yukarıdaki eşitlik 8x = 10y'i 4x = 5y olarak sadeleştiririz.
- Çubukların uzunluğu 10 cm’den fazla olmalıdır: 8x > 10 ve 10y > 10
-
Tam Sayı Çözüm ve Minimum Değer:
- 4x = 5y denklemini çözmek için, en küçük tamsayı değerlerini bulmalıyız.
- Eğer 4x = 5y, y = 4k ve x = 5k olacak şekilde bir katsayı belirleyelim.
- Öyle ki 8x > 10, bu nedenle 40k > 10, yani k > \frac{1}{4}.
-
Minimum k Değeri:
- Minimum pozitif tam sayı k = 1 olarak alınabilir.
- Bu durumda x = 5 \times 1 = 5 ve y = 4 \times 1 = 4 olur.
-
Çubuk Uzunluklarını Hesapla:
- Yeşil çubuk uzunluğu: 8 \times 5 = 40 cm.
- Turuncu çubuk uzunluğu: 10 \times 4 = 40 cm.
-
Sonuç:
- Başlangıçtaki uzunlukların toplamı: 40 + 40 = 80 cm.
Bu nedenle, yeşil ve turuncu çubukların başlangıçtaki uzunluklarının toplamı en az 80 santimetredir.