Aşağıdaki diferansiyel denklemi çözünüz, y(0) = 1
Cevap:
Verilen diferansiyel denklem:
[ y’ - y^2 - y^2 x^2 = 0 ]
ve başlangıç koşulu:
[ y(0) = 1 ]
Diferansiyel denklemi çözerken şu adımları izleyelim:
-
Diferansiyel Denklemi Sadeleştirin:
İlk olarak, denklemi şu şekilde yazabiliriz:
[ y’ = y^2 + y^2 x^2 ]Burada, y^2 terimi ortak çarpan olduğundan, denklemi şu şekilde yeniden düzenleyebiliriz:
[ y’ = y^2 (1 + x^2) ] -
Ayrık Değişkenler Yöntemi:
Bu, ayrık değişkenler yöntemi kullanılarak çözülebilecek bir denklemdir. ( \frac{dy}{dx} ) 'yi yeniden düzenleyerek şu şekilde yazabiliriz:
[ \frac{dy}{y^2} = (1 + x^2) dx ] -
Her İki Tarafın İntegrali:
Her iki tarafın integralini alıyoruz:[ \int \frac{dy}{y^2} = \int (1 + x^2) dx ]
Sol tarafın integrali:
[ \int y^{-2} dy = -y^{-1} = -\frac{1}{y} ]Sağ tarafın integrali ise:
[ \int (1 + x^2) dx = x + \frac{x^3}{3} + C ] -
Genel Çözümü Yazma:
Bu sonuçları birleştirirsek, genel çözümü şu şekilde yazabiliriz:
[ -\frac{1}{y} = x + \frac{x^3}{3} + C ][ \frac{1}{y} = -(x + \frac{x^3}{3}) - C ]
-
Başlangıç Kıymetini Kullanma:
Başlangıç koşulu ( y(0) = 1 ) 'i kullanarak sabit ( C ) 'yi belirliyoruz:
[ \frac{1}{1} = -(0 + \frac{0}{3}) - C ]
[ 1 = -C ]
[ C = -1 ] -
Özeti Denkleme Yerleştirin:
Sırasıyla yerine koyarsak:
\frac{1}{y} = - (x + \frac{x^3}{3}) + 1
y = \frac{1}{1 - (x + \frac{x^3}{3})}
Sonuç:
y = \frac{1}{1 - (x + \frac{x^3}{3})}
Bu, verilen diferansiyel denklemin çözümüdür.