3(x^2 + y^2 ) dx + x(x^2 + 3y^2 + 6y) dy = 0 diferansiyel denklemnin genel çözümünü bulunuz
Cevap: Bu diferansiyel denklemi çözmek için ilk olarak bu denklem tam diferansiyel denklemi mi diye kontrol edelim. Tam diferansiyel denklemleri çözmek için genellikle şu form kullanılır:
Bu durumda,
Bu diferansiyel denklemin tam olup olmadığını kontrol etmek için M ve N'nin kısmi türevlerini aldığımızda bunların birbirine eşit olması gerekir:
Şimdi her iki türevi hesaplayalım. İlk olarak M(x,y)'nin y'ye göre kısmi türevini alalım:
Şimdi N(x,y)'nin x'e göre kısmi türevini alalım:
Görüldüğü gibi, \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}. O zaman bu, tam bir diferansiyel denklem değildir.
Tam olmayan diferansiyel denklemlerin çözümü için bir entegrasyon faktörü kullanmamız gerekebilir. Ancak burada diferansiyel denklemi çözmenin başka bir yolu, ayrı bir denkleme dönüştürmektir. Bu yaklaşımı benimseyebiliriz:
Denklemi dx ve dy'ye göre bölelim ve sadeleştirelim:
Eğer bu sadeleştirilmiş formda daha belirgin bir integrasyon yöntemi belirleyebilirsek, denklem çözülebilir. Ancak, formülün karmaşıklığı göz önüne alındığında, alternatif çözüm yöntemleri dikkate alınarak daha ayrıntılı ve ileri analiz gerekebilir.
Bu durumda matematiksel analiz ve entegrasyon faktörü gibi yöntemler üzerinde çalışarak problemi başka bir matematiksel yol ile çözmek gerekebilir.