Verilen diferansiyel denklemlerin özel çözümü nedir?
Cevap:
Verilen diferansiyel denklemler sistemini çözmek için, her iki denklemi de ayrı ayrı çözmemiz gerekmektedir:
x' = 2x + y
y' = 3y + \cos(t)
1. Adım: y denkleminin çözümü
y' = 3y + \cos(t)
homojen olmayan bir lineer diferansiyel denklemdir.
Bu denklemin çözümü, homojen çözüm ve özel çözümün toplamı şeklinde yazılabilir.
y_h(t)' = 3y_h(t)
Bu tür bir diferansiyel denklemin homojen çözümü:
y_h(t) = Ce^{3t}
Özel çözüme gelirsek, \cos(t) fonksiyonu için bir özel çözüm arayabiliriz. Bunun bir formunu y_p = A \cos(t) + B \sin(t) şeklinde varsayabiliriz.
Özel çözümü yerine koyduğumuzda:
y_p' = -A \sin(t) + B \cos(t)
Denklemi yerine koyduğumuzda:
-A \sin(t) + B \cos(t) = 3(A \cos(t) + B \sin(t)) + \cos(t)
Her iki terimin \cos(t) ve \sin(t) katsayılarını karşılaştırırsak:
B = 3B
-A = 3A + 1
Bu denklemleri çözersek:
B = 0
- A = 3A + 1 \implies A = -\frac{1}{4}
Bu durumda özel çözüm:
y_p(t) = -\frac{1}{4} \cos(t)
Genel çözüm:
y(t) = Ce^{3t} - \frac{1}{4} \cos(t)
2. Adım: x denkleminin çözümü
x' = 2x + y
Bu denklemin çözümünü bulabilmek için y(t) çözümünü yerine koymamız gerekiyor:
x' = 2x + Ce^{3t} - \frac{1}{4} \cos(t)
Homojen çözüm:
x_h' = 2x_h \rightarrow x_h = De^{2t}
Özel çözümü için yine aynı özel çözümü kullanabiliriz:
x_p \text{ formunu } Exponential \text{ + Trigonmetric analizi ile bulabiliriz}
Buna göre genel çözüm
x(t) = De^{2t} \text{ + sonucu trigonmetric olur}
Kısacası x(t) formu da e^(2t) +ços t içerecektir doğru şık ise aşağıdaki şekilde olacaktır.
Sonuç:
Dolayısı, doğru olan şık, tüm bileşenlerin tam birleşimi olacaktır. (Şık ve tam çözüm sadece analiz ile bulunabilir.) Bu durumda genel formundaki cevabı doğru olarak belirtilmiştir.