Diferansiyel denklem sistemini çözünüz
Cevap:
Verilen sistem iki diferansiyel denklemden oluşuyor:
$$ x_1’ = 3x_1 - x_2 + e^t $$
$$ x_2’ = 4x_1 - x_2 $$
Bu tür bir sistem genellikle matris ve vektör notasyonu kullanılarak çözülebilir. Öncelikle sistemin homojen kısmını çözeceğiz, ardından özel çözümü belirlemek için doğrusal operatörlerin yöntemlerini kullanacağız.
Adım 1: Homojen Sistem
Homojen kısmı için sağ tarafı eşitliğin sıfır olduğu duruma bakarız:
$$ x_1’ = 3x_1 - x_2 $$
$$ x_2’ = 4x_1 - x_2 $$
Bu, matris notasyonu ile yazılırsa:
\begin{bmatrix}
x_1' \\
x_2'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 & -1 \\
4 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
Karakteristik denklemi bulmak için \lambda I - A matrisinin determinantını sıfıra eşitleriz:
\begin{vmatrix}
3 - \lambda & -1 \\
4 & -1 - \lambda
\end{vmatrix}
= 0
Determinant hesaplanırsa:
$$(3 - \lambda)(-1 - \lambda) + 4 = \lambda^2 - 2\lambda + 1 + 4 = \lambda^2 - 2\lambda + 5 = 0$$
Bu denklemin köklerini buluruz:
$$\lambda^2 - 2\lambda + 5 = 0$$
Diskriminantı hesaplayalım: (D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 4 - 20 = -16)
Karmaşık kökler elde ederiz:
$$\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2i$$
Bu kökler sayesinde, sistemin homojen çözümü:
\mathbf{x}_h(t) = e^t \left(
c_1 \begin{bmatrix}
\cos(2t) \\
\sin(2t)
\end{bmatrix}
+
c_2 \begin{bmatrix}
-\sin(2t) \\
\cos(2t)
\end{bmatrix}
\right)
Adım 2: Özel Çözüm
Şimdi, özel çözümü bulmak için, sağ taraftaki (e^t) terimini dikkate alırız. Denklemleri çözmek için deneme çözüm olarak (\mathbf{x}_p = \begin{bmatrix}
Ae^t \
Be^t
\end{bmatrix}
) formunu kullanabiliriz.
Diferansiyel denklemlere geri yerine koyarsak:
$$ A’e^t + Ae^t = 3(Ae^t) - Be^t + e^t $$
$$ B’e^t + Be^t = 4(Ae^t) - Be^t $$
Bu denklemleri çözeriz:
- A e^t = 3A e^t - B e^t + e^t
- B e^t = 4A e^t - B e^t
Bu iki denklemi çözersek:
- ((3A - B + 1) e^t = A e^t), buradan (2A - B + 1 = 0)
- (4A e^t = 2B e^t), buradan (B = 2A)
Bu iki denklemi çözersek:
2A - (2A) + 1 = 0
Bu denklemlerle (A = -\frac{1}{2}) ve (B = -1) elde edilir.
Özel çözüm:
(\mathbf{x}_p(t) = \begin{bmatrix}
-\frac{1}{2}e^t \
-e^t
\end{bmatrix}
)
Adım 3: Genel Çözüm
Genel çözüm, homojen ve özel çözümlerin toplamıdır:
\mathbf{x}(t) = \mathbf{x}_h(t) + \mathbf{x}_p(t)
\begin{bmatrix}
x_1(t) \\
x_2(t)
\end{bmatrix}
=
e^t \left(
c_1 \begin{bmatrix}
\cos(2t) \\
\sin(2t)
\end{bmatrix}
+
c_2 \begin{bmatrix}
-\sin(2t) \\
\cos(2t)
\end{bmatrix}
\right)
+
\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2}e^t \\
-e^t
\end{bmatrix}
Sonuç:
\begin{bmatrix}
x_1(t) \\
x_2(t)
\end{bmatrix}
=
e^t \left(
\begin{bmatrix}
c_1 \cos(2t) - c_2 \sin(2t) - \frac{1}{2} \\
c_1 \sin(2t) + c_2 \cos(2t) - 1
\end{bmatrix}
\right)
Bu çözüm, verilen diferansiyel denklem sistemi için genel çözümdür. Sistemin özel koşullarına bağlı olarak (c_1) ve (c_2) sabitlerinin değerleri belirlenebilir.