Differansiyel denklemin özel çözümü
Verilen problem:
diferansiyel denkleminin özel çözümünü bulmamız isteniyor. Bu tür lineer diferansiyel denklemleri çözmek için genel olarak aşağıdaki adımları izleriz:
-
Homojen çözümü bulma:
İlk olarak, homojen denklemleri çözmemiz gerekiyor.
\begin{cases} x' = 2x + y \\ y' = 3y \end{cases}İkinci denklemden y’nin çözümünü bulalım:
y' = 3y \implies y = C_1 e^{3t}şimdiyse x için denklemimizi çözelim:
x' = 2x + C_1 e^{3t}Homojen kısmı çözmek için özel çözüm bulmamız gerekiyor. x ve y’nin homojen çözümleri şu şekildedir:
y_h = C_1 e^{3t}x_h = C_2 e^{2t} -
Özel çözümü bulma:
Şimdi non-homojen kısmı \cos(t) için özel çözümü bulmalıyız. Genellikle \cos(t) ve \sin(t) gibi sağ tarafta trigonometrik fonksiyonlar varsa, özel çözüm denklemi şu formdadır:
x_p = A \cos(t) + B \sin(t)y_p = C \cos(t) + D \sin(t)x ve y denklemlerini yerine koyarsak ve gerekli katsayıları hesaplayarak bulmamız gerekir.
-
Toplam çözüm:
Bulduğumuz homojen ve özel çözümleri birleştiririz ve toplam çözümü veririz.
Ancak, yukarıdaki seçenekler incelenerek doğru olanı bulunabilir. Bu özel çözüme göre yapılmış denklemlerle (Sin ve Cos’tan gelen katsayıları karşılaştırarak) doğru cevabı seçmek gerekebilir.
Seçenekler:
-
- \begin{cases} Xö =[-(1/10) \sin(t) - (1/10) \cos(t) \quad @ \quad(1/10) \sin(t) - (3/10) \cos(t)] \end{cases}
-
- \begin{cases} Xö =[-(1/10) \sin(t) + (1/10) \cos(t) \quad @ \quad(1/10) \sin(t) - (3/10) \cos(t)] \end{cases}
-
- \begin{cases} Xö =[ (1/10) \sin(t) + (1/10) \cos(t) \quad @ \quad(1/10) \sin(t) - (3/10) \cos(t) ] \end{cases}
-
- \begin{cases} Xö =[ (1/10) \sin(t) + (1/10) \cos(t) \quad @ \quad(1/10) \sin(t) + (3/10) \cos(t)] \end{cases}
-
- \begin{cases} Xö =[ (1/10) \sin(t) + (1/10) \cos(t) \quad @ \quad(1/10) \sin(t) - (3/10) \cos(t)] \end{cases}
Bu seçeneklerden doğru cevabı belirleyebiliriz.
Cevap:
[ Seçenek 1 doğrudur: \boxed{1. ,[ - (1 / 10) \sin(t) - (1 / 10) \cos(t) \quad @ \quad(1/10) \sin(t) - (3/10) \cos(t)]} .]