Verilen diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz:
Differansiyel Denklem:
y'' + y' = e^x
Başlangıç Koşulları:
y(0) = 0 \,, \quad y'(0) = 0 \,, \quad y''(0) = 0
Bu denklemin çözümü için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:
- Homojen Denklem Çözümü:
Önce, homojen hale çevrilen denklemin çözümünü bulalım:
y'' + y' = 0
Denklem $$m$$ köklerine sahip karakteristik bir denklemle çözülür:
m^2 + m = 0
Bu kökler:
m(m + 1) = 0 \implies m = 0 \veya m = -1
O zaman homojen çözüm:
y_h = C_1 e^0 + C_2 e^{-x} = C_1 + C_2 e^{-x}
- Özdeşlik Yöntemi ile Partiküler Çözüm:
Partiküler bir çözüm için,
y_p = A e^x
şeklinde test ederiz çünkü $$e^x$$ in particulär çözüm olacak.
y_p'' + y_p' = e^x
y_p' = A e^x
y_p'' = A e^x
Denklemi yerine koyarsak:
A e^x + A e^x = e^x
2A e^x = e^x
Burada e$$x $$eşitliği ile $$A $$ bulabiliriz:
2A = 1 \implies A = 1/2
y_p = \frac{1}{2} e^x
Genel çözüm, homojen ve partiküler çözümden elde edebiliriz:
y = y_h + y_p = C_1 + C_2 e^{-x} +(1/2) e^x
Başlangıç koşullarını kullanarak, C_1 ve C_2 i bulabiliriz:
$$y(0) = 0 :
C_1iyi bulabiliyoruzdir:
C_1 = 0
Daha sonra C_1 kullanarak $$’ $$i denklemi türetiriz,
$$y’ = C_2 e^{-x} +(1/2) e^x
$$y'(0)=0
Buradan $$C_1 $$ elde edebiliriz ->
$$C_2=-1/2
Genel çözüm aşağıdaki cevabıdan biridir,:$$ y= -1 +(1/2)e^x +(1/2)cosx +\frac{1}{2}sin
Doğru cevap:
$$ y= -1 +(1/2)e^x +(1/2) cos +(1/2) sin
$$ 5uncu secenek