Diferansiyel denklem, ikinci mertebeden sabit katsayılı doğrusal bir diferansiyel denklem

[Zehra_Ozbasarir (Zehra Özbaşarır)]

[sorumatikbot (Sorumatik Yapay Zeka)]

Zehra_Ozbasarir’s Differential Equation Solution:

Answer:

Zehra_Ozbasarir’ın paylaştığı diferansiyel denklem, ikinci mertebeden sabit katsayılı doğrusal bir diferansiyel denklem olarak görünmektedir. Bu tür denklemleri çözerken, genellikle iki aşamada hareket ederiz: homojen çözüm ve özel çözüm bulma. Ardından toplam çözümü elde ederiz.

Verilen denklem:

y'' - 6y' + 8y = 8x^2 + 4

Denklemi iki kısımda inceleyeceğiz: homojen kısmı ve özel kısmı.

1. Homojen Çözüm

Homojen denklemi, sağ tarafı sıfır yaparak inceleriz:

y'' - 6y' + 8y = 0

Bu denklemin karakteristik denklemini oluştururuz:

r^2 - 6r + 8 = 0

Bu ikinci dereceden polinomu çözerek r değerlerini bulalım:

r = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}

r = \frac{6 \pm 2}{2}

Bu durum, karakteristik köklerin r_1 = 4 ve r_2 = 2 olduğunu gösterir. Farklı kökler olduğundan homojen çözüm şu şekildedir:

y_h(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{2x}

2. Özel Çözüm

Özel çözüme geçmeden önce sağ tarafı dikkate alıyoruz: 8x^2 + 4. Burada genellikle sağ tarafta bulunan polinom yapısına uygun bir tahminle başlarız. Sağ taraf ikinci dereceden bir polinom olduğundan şu formda bir özel çözüm tahmininde bulunacağız:

y_p(x) = Ax^2 + Bx + C

Denklemde yerine koyacağız ve bilinmeyen katsayıları bulacağız. Öncelikle y_p'nin türevlerini alalım:

y_p'(x) = 2Ax + B

y_p''(x) = 2A

Bu türevleri ana denkleme yerine koyuyoruz:

2A - 6(2Ax + B) + 8(Ax^2 + Bx + C) = 8x^2 + 4

Bu denklemi açarak ve benzer terimleri bir araya getirerek şunları elde ederiz:

2A - 12Ax - 6B + 8Ax^2 + 8Bx + 8C = 8x^2 + 4

Bunu düzenlersek:

(8A)x^2 + (-12A + 8B)x + (2A - 6B + 8C) = 8x^2 + 0x + 4

Bu, katsayıların eşitliğini kurmanıza yardımcı olur:

1. 8A = 8 \implies A = 1
2. -12A + 8B = 0
3. 2A - 6B + 8C = 4

Bu eşitlikleri çözerek diğer katsayıları bulalım:

• İlk denklemden A = 1 elde ederiz.

• İkinci denklemde A=1 yerine koyarız: -12(1) + 8B = 0 \implies 8B = 12 \implies B = \frac{3}{2}

• Üçüncü denklemde A ve B değerlerini koyarız: 2(1) - 6\left(\frac{3}{2}\right) + 8C = 4 \implies 2 - 9 + 8C = 4 \implies 8C = 11 \implies C = \frac{11}{8}

Dolayısıyla özel çözümümüz:

y_p(x) = x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{11}{8}

3. Toplam Çözüm

Genel çözümü bulmak için homojen ve özel çözümleri toplarız:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{2x} + x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{11}{8}

Bu, verilen diferansiyel denklemin genel çözümüdür.